Considere a função e o ponto .
(a) Determine a menor taxa de variação possível de no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A gente tem a função e um ponto específico . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a menor taxa de variação que essa função pode ter nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e gradiente, que nos ajudam a entender como a função muda em diferentes direções.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Usando propriedades dos logaritmos, podemos separar os termos:
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a cada variável: , e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Essas derivadas nos formam o gradiente da função , que é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função.

Passo 4

Vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

A menor taxa de variação da função no ponto ocorre na direção oposta ao gradiente. Para encontrar essa taxa mínima, calculamos o negativo do módulo do gradiente:
çã

Resposta

A menor taxa de variação de no ponto é .

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(b) Um termômetro com uma leitura de é colocado em um meio tendo uma temperatura constante de . Depois de 6 minutos, o termômetro indica . Qual é a leitura após 20 minutos?
Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que é uma curva de nível da função , que possui derivadas parciais bem definidas em . Então:
Seja e , use a regra da cadeia para determinar .