Considere a função
e o ponto
.
(a) Determine a menor taxa de variação possível de
no ponto
.
(a) Determine a menor taxa de variação possível de
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A gente tem a função
e um ponto específico
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a menor taxa de variação que essa função pode ter nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e gradiente, que nos ajudam a entender como a função muda em diferentes direções.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Usando propriedades dos logaritmos, podemos separar os termos:
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a cada variável:
,
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Essas derivadas nos formam o gradiente da função
, que é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função.
Passo 4
Vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
A menor taxa de variação da função no ponto
ocorre na direção oposta ao gradiente. Para encontrar essa taxa mínima, calculamos o negativo do módulo do gradiente:
Resposta
A menor taxa de variação de
no ponto
é
.
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Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares seguintes as integrais:
(b) Um termômetro com uma leitura de
é colocado em um meio tendo uma temperatura constante de
. Depois de 6 minutos, o termômetro indica
. Qual é a leitura após 20 minutos?
Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que
é uma curva de nível da função
, que possui derivadas parciais bem definidas em
. Então:
Seja
e
, use a regra da cadeia para determinar
.