Considere a função
e o ponto
.
(a) Determine a menor taxa de variação possível de
no ponto
.
(a) Determine a menor taxa de variação possível de
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A gente tem a função
e um ponto específico
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a menor taxa de variação que essa função pode ter nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e gradiente, que nos ajudam a entender como a função muda em diferentes direções.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Usando propriedades dos logaritmos, podemos separar os termos:
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a cada variável:
,
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Essas derivadas nos formam o gradiente da função
, que é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função.
Passo 4
Vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
A menor taxa de variação da função no ponto
ocorre na direção oposta ao gradiente. Para encontrar essa taxa mínima, calculamos o negativo do módulo do gradiente:
Resposta
A menor taxa de variação de
no ponto
é
.