Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares seguintes as integrais: integral0^1 / 2 integralraiz3 x^raiz1-x^2 x d y d x

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla usando coordenadas polares. Primeiro, vamos entender o que a integral está pedindo: calcular a área sob a função sobre uma região específica no plano . Para isso, precisaremos esboçar a região de integração e depois converter a integral para coordenadas polares, que muitas vezes simplificam o cálculo.

Passo 2

Vamos identificar os limites de integração. A integral interna varia de até , e a integral externa varia de até . Isso nos mostra que a região está limitada por uma linha reta e pela parte superior de um círculo de raio 1 ( ).

Passo 3

Para converter para coordenadas polares, usamos as relações e . A integral em coordenadas polares inclui o jacobiano , então a função se torna e se torna .

Passo 4

Vamos determinar os novos limites em coordenadas polares. O limite se torna , ou seja, . A linha corresponde a , já que .

Passo 5

O limite superior do círculo em coordenadas polares é simplesmente . Portanto, os limites para variam de 0 até , e varia de 0 até .

Passo 6

Agora, reescrevemos a integral em coordenadas polares:
integral0^pi/3 integral0^12costheta (r costheta) cdot r , dr , dtheta = integral0^pi/3 integral0^12costheta r^2 costheta , dr , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^12costheta r^2 costheta , dr = costheta [ r^33 ]0^12costheta = costheta ( 13 ( 12costheta )^3 ) = costheta3 cdot 18cos^3theta = 124cos^2theta :

Passo 8

Agora, a integral se torna:
integral0^pi/3 124cos^2theta , dtheta = 124 integral0^pi/3 sec^2theta , dtheta
Sabemos que 124 [ tantheta ]0^pi/3 = 124 (tan(pi/3) - tan(0)) = 124 (raiz3 - 0) = raiz324 , então:

Resposta

O valor da integral é .

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