Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares seguintes as integrais:
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla
usando coordenadas polares. Primeiro, vamos entender o que a integral está pedindo: calcular a área sob a função
sobre uma região específica no plano
. Para isso, precisaremos esboçar a região de integração e depois converter a integral para coordenadas polares, que muitas vezes simplificam o cálculo.
Passo 2
Vamos identificar os limites de integração. A integral interna varia de
até
, e a integral externa varia de
até
. Isso nos mostra que a região está limitada por uma linha reta
e pela parte superior de um círculo de raio 1 (
).
Passo 3
Para converter para coordenadas polares, usamos as relações
e
. A integral em coordenadas polares inclui o jacobiano
, então a função
se torna
e
se torna
.
Passo 4
Vamos determinar os novos limites em coordenadas polares. O limite
se torna
, ou seja,
. A linha
corresponde a
, já que
.
Passo 5
O limite superior do círculo
em coordenadas polares é simplesmente
. Portanto, os limites para
variam de 0 até
, e
varia de 0 até
.
Passo 6
Agora, reescrevemos a integral em coordenadas polares:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 8
Agora, a integral se torna:
Sabemos que
, então:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
(b) Um termômetro com uma leitura de
é colocado em um meio tendo uma temperatura constante de
. Depois de 6 minutos, o termômetro indica
. Qual é a leitura após 20 minutos?
Encontre a área da região limitada pelas curvas:
e
.
Considere a função
e o ponto
.
(a) Determine a menor taxa de variação possível de no ponto
.
(a) Determine a menor taxa de variação possível de
Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que
é uma curva de nível da função
, que possui derivadas parciais bem definidas em
. Então: