Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares seguintes as integrais:

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla usando coordenadas polares. Primeiro, vamos entender o que a integral está pedindo: calcular a área sob a função sobre uma região específica no plano . Para isso, precisaremos esboçar a região de integração e depois converter a integral para coordenadas polares, que muitas vezes simplificam o cálculo.

Passo 2

Vamos identificar os limites de integração. A integral interna varia de até , e a integral externa varia de até . Isso nos mostra que a região está limitada por uma linha reta e pela parte superior de um círculo de raio 1 ( ).

Passo 3

Para converter para coordenadas polares, usamos as relações e . A integral em coordenadas polares inclui o jacobiano , então a função se torna e se torna .

Passo 4

Vamos determinar os novos limites em coordenadas polares. O limite se torna , ou seja, . A linha corresponde a , já que .

Passo 5

O limite superior do círculo em coordenadas polares é simplesmente . Portanto, os limites para variam de 0 até , e varia de 0 até .

Passo 6

Agora, reescrevemos a integral em coordenadas polares:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 8

Agora, a integral se torna:
Sabemos que , então:

Resposta

O valor da integral é .

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(b) Um termômetro com uma leitura de é colocado em um meio tendo uma temperatura constante de . Depois de 6 minutos, o termômetro indica . Qual é a leitura após 20 minutos?
Encontre a área da região limitada pelas curvas: e .
Considere a função e o ponto .
(a) Determine a menor taxa de variação possível de no ponto .
Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que é uma curva de nível da função , que possui derivadas parciais bem definidas em . Então: