Seja z = x^2 cos(y), x = e^t e y = t^2, use a regra da cadeia para determinar dz/dt(0).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está nos pedindo. Temos uma função , onde e também dependem de : e . Queremos descobrir a taxa de variação de em relação a no ponto onde . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a encontrar derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Se temos uma função composta, como , a derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , além das derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Com todas as derivadas necessárias calculadas, podemos agora aplicar a regra da cadeia:

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar quando . Vamos substituir nas expressões de e :
Agora, substituímos esses valores na expressão de :

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
Substituindo esses valores:

Resposta

A derivada de em relação a no ponto é .

Exercícios relacionados