Seja e , use a regra da cadeia para determinar .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está nos pedindo. Temos uma função , onde e também dependem de : e . Queremos descobrir a taxa de variação de em relação a no ponto onde . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a encontrar derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Se temos uma função composta, como , a derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , além das derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Com todas as derivadas necessárias calculadas, podemos agora aplicar a regra da cadeia:

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar quando . Vamos substituir nas expressões de e :
Agora, substituímos esses valores na expressão de :

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
Substituindo esses valores:

Resposta

A derivada de em relação a no ponto é .

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Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que é uma curva de nível da função , que possui derivadas parciais bem definidas em . Então:
Considere a função e o ponto .
(a) Determine a menor taxa de variação possível de no ponto .
Considere a função .
(b) Encontre a taxa de variação de na origem na direção e sentido do vetor .
Dados a função e o ponto ,
(a) determine uma equação para a curva de nível de que passa pelo ponto e esboce essa curva no plano ;