Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que y=x^2 é uma curva de nível da função f(x, y), que possui derivadas parciais bem definidas em (0,0). Então:
() partial fpartial x(0,0)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre curvas de nível de uma função matemática. A gente tem a curva partial fpartial x(0,0) = 0 que é uma curva de nível da função . A função tem derivadas parciais bem definidas no ponto . A pergunta quer saber se a derivada parcial de em relação a no ponto é igual a zero, ou seja:

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível para a função f(x, y) = c é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante. Ou seja, para algum valor f(x, y) = c quando y = x^2 , temos:
No nosso caso, a curva de nível é , então podemos dizer que:

Passo 3

Agora, para encontrar a relação entre as derivadas parciais de partial fpartial x cdot dxdx + partial fpartial y cdot dydx = 0 , vamos usar o diferencial total. Se partial fpartial x + partial fpartial y cdot dydx = 0 , ao derivar ambos os lados em relação a , temos:
Simplificando, já que :

Passo 4

Sabemos que dydx = 2x , então vamos calcular dydxg|(0,0) = 2 cdot 0 = 0 :
Isso significa que no ponto , temos:

Passo 5

Substituindo partial fpartial x(0,0) + partial fpartial y(0,0) cdot 0 = 0 na equação anterior:
partial fpartial x(0,0) = 0
Isso simplifica para:

Resposta

Então, sim, a afirmação está correta.

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