Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que é uma curva de nível da função , que possui derivadas parciais bem definidas em . Então:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre curvas de nível de uma função matemática. A gente tem a curva que é uma curva de nível da função . A função tem derivadas parciais bem definidas no ponto . A pergunta quer saber se a derivada parcial de em relação a no ponto é igual a zero, ou seja:

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível para a função é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante. Ou seja, para algum valor , temos:
No nosso caso, a curva de nível é , então podemos dizer que:

Passo 3

Agora, para encontrar a relação entre as derivadas parciais de , vamos usar o diferencial total. Se , ao derivar ambos os lados em relação a , temos:
Simplificando, já que :

Passo 4

Sabemos que , então vamos calcular :
Isso significa que no ponto , temos:

Passo 5

Substituindo na equação anterior:
Isso simplifica para:

Resposta

Então, sim, a afirmação está correta.

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Dados a função e o ponto ,
(a) determine uma equação para a curva de nível de que passa pelo ponto e esboce essa curva no plano ;
Considere a função .
(b) Encontre a taxa de variação de na origem na direção e sentido do vetor .
Resolva o seguinte sistema .
Considere a equação , onde . Deduza uma expressão para as suas raizes.