Dados a função
e o ponto
,
(a) determine uma equação para a curva de nível de
que passa pelo ponto
e esboce essa curva no plano
;
(a) determine uma equação para a curva de nível de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me perguntou para encontrar a equação da curva de nível da função
que passa pelo ponto
. Além disso, vamos esboçar essa curva no plano
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrar a equação que define uma delas para um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é uma curva de nível. Em matemática, especialmente em funções de duas variáveis como
, uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um certo valor
, a curva de nível é definida por
.
Passo 3
Para encontrar a equação da curva de nível que passa pelo ponto
, precisamos primeiro calcular o valor de
. Vamos substituir
e
na função:
Então, o valor constante
para a curva de nível que passa por
é
.
Passo 4
Agora que sabemos que
, podemos escrever a equação da curva de nível substituindo
por
:
Para simplificar, vamos multiplicar todos os termos por 2 para eliminar as frações:
Passo 5
Observe que a equação
representa um círculo no plano
com centro em
e raio
. Isso significa que a curva de nível que estamos procurando é um círculo centrado em
com raio aproximadamente
.
Resposta
A equação da curva de nível que passa pelo ponto
é
. Essa curva é um círculo com centro em
e raio
. No plano
, o esboço dessa curva será um círculo centrado em
com raio aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Considere a função
.
(b) Encontre a taxa de variação de na origem na direção e sentido do vetor
.
(b) Encontre a taxa de variação de
Seja
e
, use a regra da cadeia para determinar
.
Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que
é uma curva de nível da função
, que possui derivadas parciais bem definidas em
. Então:
Resolva o seguinte sistema
.