Dados a função e o ponto ,
(a) determine uma equação para a curva de nível de que passa pelo ponto e esboce essa curva no plano ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me perguntou para encontrar a equação da curva de nível da função que passa pelo ponto . Além disso, vamos esboçar essa curva no plano . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrar a equação que define uma delas para um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é uma curva de nível. Em matemática, especialmente em funções de duas variáveis como , uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um certo valor , a curva de nível é definida por .

Passo 3

Para encontrar a equação da curva de nível que passa pelo ponto , precisamos primeiro calcular o valor de . Vamos substituir e na função:
Então, o valor constante para a curva de nível que passa por é .

Passo 4

Agora que sabemos que , podemos escrever a equação da curva de nível substituindo por :
Para simplificar, vamos multiplicar todos os termos por 2 para eliminar as frações:

Passo 5

Observe que a equação representa um círculo no plano com centro em e raio . Isso significa que a curva de nível que estamos procurando é um círculo centrado em com raio aproximadamente .

Resposta

A equação da curva de nível que passa pelo ponto é . Essa curva é um círculo com centro em e raio . No plano , o esboço dessa curva será um círculo centrado em com raio aproximadamente .

Exercícios relacionados

Considere a função .
(b) Encontre a taxa de variação de na origem na direção e sentido do vetor .
Seja e , use a regra da cadeia para determinar .
Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que é uma curva de nível da função , que possui derivadas parciais bem definidas em . Então:
Resolva o seguinte sistema .