Considere a equação
, onde
. Deduza uma expressão para as suas raizes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação do segundo grau na forma
, onde
,
e
são números complexos. Nosso objetivo é encontrar uma fórmula que nos dê as raízes dessa equação. Para isso, vamos usar a famosa Fórmula de Bhaskara, que funciona para números complexos também.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a Fórmula de Bhaskara. Para uma equação do tipo
, as raízes são dadas por:
Essa fórmula nos dá as soluções
que satisfazem a equação.
Passo 3
Agora, precisamos garantir que essa fórmula funciona mesmo quando
,
e
são números complexos. A boa notícia é que a Fórmula de Bhaskara é válida para números complexos porque os complexos formam um campo algébrico fechado, ou seja, as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão (exceto por zero) estão sempre definidas dentro dos números complexos.
Passo 4
Vamos interpretar cada parte da fórmula:
-
: simplesmente o oposto de . -
: a raiz quadrada do discriminante, que no caso complexo pode resultar em outro número complexo. -
: o dobro de , que está no denominador para dividir toda a expressão.
Passo 5
Portanto, aplicando a Fórmula de Bhaskara para números complexos, a expressão das raízes da equação
é:
Resposta
As raízes da equação
são dadas por: