Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que
é uma curva de nível da função
, que possui derivadas parciais bem definidas em
. Então:
nada se pode concluir
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado diz que a curva
é uma curva de nível da função
, que tem derivadas parciais bem definidas em
. Nosso objetivo aqui é entender o que podemos concluir a partir disso. Para resolver, vamos precisar saber sobre curvas de nível, derivadas parciais e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre curvas de nível. Uma curva de nível de uma função
é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante. Ou seja, para algum valor
, temos
.
Passo 3
No nosso caso, a curva de nível é
. Isso significa que em todos os pontos dessa curva, a função
tem o mesmo valor, digamos
. Portanto, podemos escrever
quando
.
Passo 4
Agora, vamos considerar as derivadas parciais de
em
. Como
tem derivadas parciais bem definidas nesse ponto, sabemos que
é diferenciável em
.
Passo 5
Vamos investigar o que a condição
nos diz sobre as derivadas parciais de
. Se substituirmos
na função
, obtemos uma relação entre
e
.
Passo 6
Considerando que
na curva
, podemos derivar ambos os lados em relação a
para encontrar uma relação entre as derivadas parciais de
.
Passo 7
Derivando
em relação a
:
Passo 8
Avaliar essa expressão em
nos dá:
Passo 9
Portanto, podemos concluir que a derivada parcial de
em relação a
no ponto
é zero. Isso significa que, apesar de ter uma curva de nível definida, conseguimos tirar uma conclusão sobre as derivadas parciais da função.
Resposta
A alternativa “( ) nada se pode concluir” está incorreta, pois conseguimos concluir que
.
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