Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que é uma curva de nível da função , que possui derivadas parciais bem definidas em . Então:
nada se pode concluir

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado diz que a curva é uma curva de nível da função , que tem derivadas parciais bem definidas em . Nosso objetivo aqui é entender o que podemos concluir a partir disso. Para resolver, vamos precisar saber sobre curvas de nível, derivadas parciais e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre curvas de nível. Uma curva de nível de uma função é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante. Ou seja, para algum valor , temos .

Passo 3

No nosso caso, a curva de nível é . Isso significa que em todos os pontos dessa curva, a função tem o mesmo valor, digamos . Portanto, podemos escrever quando .

Passo 4

Agora, vamos considerar as derivadas parciais de em . Como tem derivadas parciais bem definidas nesse ponto, sabemos que é diferenciável em .

Passo 5

Vamos investigar o que a condição nos diz sobre as derivadas parciais de . Se substituirmos na função , obtemos uma relação entre e .

Passo 6

Considerando que na curva , podemos derivar ambos os lados em relação a para encontrar uma relação entre as derivadas parciais de .

Passo 7

Derivando em relação a :

Passo 8

Avaliar essa expressão em nos dá:

Passo 9

Portanto, podemos concluir que a derivada parcial de em relação a no ponto é zero. Isso significa que, apesar de ter uma curva de nível definida, conseguimos tirar uma conclusão sobre as derivadas parciais da função.

Resposta

A alternativa “( ) nada se pode concluir” está incorreta, pois conseguimos concluir que .

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Reduza à forma :
.
Resolva as equações:
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Reduza à forma :