Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que é uma curva de nível da função , que possui derivadas parciais bem definidas em . Então:

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos que a curva é uma curva de nível da função . Isso significa que para todos os pontos sobre essa curva, a função mantém um valor constante. Além disso, sabemos que tem derivadas parciais bem definidas no ponto . Nosso objetivo é determinar se a derivada parcial de em relação a no ponto é igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis, uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante , ou seja, . No nosso caso, é uma curva de nível, então podemos escrever .

Passo 3

Agora, para encontrar a relação entre as derivadas parciais de e a inclinação da curva de nível, usamos o conceito de derivada total. Se movemos ao longo da curva de nível, a variação de é zero, então:
Isso simplifica para:

Passo 4

A inclinação da curva é dada pela derivada . No ponto , essa inclinação é , pois .

Passo 5

Substituindo a inclinação na equação anterior:
Isso nos mostra que a derivada parcial de em relação a no ponto é igual a , não a .

Resposta

A afirmação de que é incorreta.

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