Faça um esboço e identifique os seguintes conjuntos:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente fazer um esboço e identificar três conjuntos definidos por equações envolvendo números complexos. A matéria aqui é Análise de Números Complexos, especificamente sobre a representação geométrica de equações que relacionam módulos de números complexos. Vamos precisar usar conceitos de geometria no plano complexo e propriedades dos módulos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira equação:
Aqui, é um número complexo, que podemos representar como , onde e são partes reais e imaginárias.
A equação significa que a distância de à origem (0) é igual à distância de ao ponto 2 no plano real.

Passo 3

Para resolver, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Isso fica:
Simplificando:
Cancelando e :
Resolvendo para :

Passo 4

Então, o conjunto definido por é a reta vertical no plano complexo.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda equação:
Aqui, é o conjugado de , ou seja, se , então .
A equação significa que a distância de à origem é igual à distância de ao ponto 1.

Passo 6

Vamos expressar em termos de e :
Igualando os módulos:
Elevando ao quadrado:
Simplificando:
Cancelando e :
Resolvendo para :

Passo 7

Então, o conjunto definido por é a reta vertical no plano complexo.

Passo 8

Por último, vamos para a terceira equação:
Aqui, é um número real diferente de 0 e 1. Essa equação representa um conjunto de pontos no plano complexo cuja distância à origem multiplicada por é igual à distância de ao ponto 1.

Passo 9

Vamos novamente expressar em termos de e :
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Expandindo o lado direito:
Organizando os termos:
Fatorando:
Dividindo todos os termos por (já que ):

Passo 10

Essa é a equação geral de um círculo no plano , onde podemos identificar o centro e o raio. Para simplificar, completamos o quadrado:
Completando o quadrado para :
Rearranjando:
Isso mostra que o conjunto é um círculo com centro em e raio .

Resposta

Os conjuntos definidos são:
  1. é a reta vertical .
  2. é a reta vertical .
  3. para é um círculo com centro em e raio .

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Resolva as equações:
Considere a função e o ponto .
(b) Obtenha um vetor unitário na direção e sentido do qual cresce mais rapidamente.
Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que é uma curva de nível da função , que possui derivadas parciais bem definidas em . Então:
Resolva as equações: