Faça um esboço e identifique os seguintes conjuntos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente fazer um esboço e identificar três conjuntos definidos por equações envolvendo números complexos. A matéria aqui é Análise de Números Complexos, especificamente sobre a representação geométrica de equações que relacionam módulos de números complexos. Vamos precisar usar conceitos de geometria no plano complexo e propriedades dos módulos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira equação:
Aqui,
é um número complexo, que podemos representar como
, onde
e
são partes reais e imaginárias.
A equação
significa que a distância de
à origem (0) é igual à distância de
ao ponto 2 no plano real.
Passo 3
Para resolver, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Isso fica:
Simplificando:
Cancelando
e
:
Resolvendo para
:
Passo 4
Então, o conjunto definido por
é a reta vertical
no plano complexo.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda equação:
Aqui,
é o conjugado de
, ou seja, se
, então
.
A equação
significa que a distância de
à origem é igual à distância de
ao ponto 1.
Passo 6
Vamos expressar em termos de
e
:
Igualando os módulos:
Elevando ao quadrado:
Simplificando:
Cancelando
e
:
Resolvendo para
:
Passo 7
Então, o conjunto definido por
é a reta vertical
no plano complexo.
Passo 8
Por último, vamos para a terceira equação:
Aqui,
é um número real diferente de 0 e 1. Essa equação representa um conjunto de pontos
no plano complexo cuja distância à origem multiplicada por
é igual à distância de
ao ponto 1.
Passo 9
Vamos novamente expressar em termos de
e
:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Expandindo o lado direito:
Organizando os termos:
Fatorando:
Dividindo todos os termos por
(já que
):
Passo 10
Essa é a equação geral de um círculo no plano
, onde podemos identificar o centro e o raio. Para simplificar, completamos o quadrado:
Completando o quadrado para
:
Rearranjando:
Isso mostra que o conjunto é um círculo com centro em
e raio
.
Resposta
Os conjuntos definidos são:
-
é a reta vertical . -
é a reta vertical . -
para é um círculo com centro em e raio .
Exercícios relacionados
Resolva as equações:
Considere a função
e o ponto
.
(b) Obtenha um vetor unitário na direção e sentido do qual cresce mais rapidamente.
(b) Obtenha um vetor unitário na direção e sentido do qual
Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que
é uma curva de nível da função
, que possui derivadas parciais bem definidas em
. Então:
Resolva as equações: