Faça um esboço e identifique os seguintes conjuntos:
Re(z) = Im(z-1) ; Im(z-1) = |z+1| ; |z| = |z-1|

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos três equações envolvendo números complexos e precisamos identificar e esboçar os conjuntos que satisfazem cada uma delas. Para isso, vamos precisar entender conceitos de números complexos, partes real e imaginária, e o módulo de um número complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a notação. Um número complexo pode ser escrito como , onde é a parte real ( ) e é a parte imaginária ( ).

Passo 3

Vamos analisar a primeira equação: .
Substituindo :
Então,
Portanto, a equação fica .
Isso representa uma reta no plano complexo onde a parte real é igual à parte imaginária.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda equação: .
Substituindo :
Então, a equação fica .
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Subtraindo de ambos os lados:
Resolvendo para :
Isso representa uma reta vertical no plano complexo onde a parte real é igual a -1.

Passo 5

Finalmente, vamos para a terceira equação: .
Primeiro, vamos lembrar que é o conjugado de , então:
O módulo de é:
Agora,
Então, a equação fica
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Resolvendo para :
Isso representa uma reta vertical no plano complexo onde a parte real é igual a .

Resposta

Os conjuntos identificados são:
  1. representa a reta .
  2. representa a reta vertical .
  3. representa a reta vertical .

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