Assinale V ou F: A série de potências converge para ;

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos determinar se a série de potências converge para todos os valores de no intervalo . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências e critérios de convergência, como o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o intervalo de convergência da série. Para isso, aplicamos o teste da razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Calculamos o limite:
Onde .
Então,
Para a série convergir, precisamos que :
Portanto, o intervalo de convergência é .

Passo 3

Agora, vamos verificar a convergência nos pontos extremos do intervalo, ou seja, em e .
  • Para :
Esta é uma série alternada , que converge pelo teste da série alternada.
  • Para :
Esta é a série harmônica , que diverge.

Resposta

A afirmação é FALSA, pois a série não converge para , embora converja para .

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Assinale V ou F: O raio de convergência da série de potências é ;
Assinale V ou F: Se é convergente, então é convergente.
Determine a expansão em série de potências para em torno de . Determine o raio e o intervalo de convergência da expansão encontrada. Justifique cada passo de sua resolução.
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergentes, condicionalmente convergente ou divergente. Justifique sua resposta.