Assinale V ou F: A série de potências sumn=1^infty (x-3)^nn 2^n converge para x in[1,5];

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos determinar se a série de potências converge para todos os valores de no intervalo . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências e critérios de convergência, como o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o intervalo de convergência da série. Para isso, aplicamos o teste da razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Onde L = limn to infty | (x-3)^n+1(n+1) 2^n+1 times n 2^n(x-3)^n | = limn to infty | x-32 times nn+1 | = |x-3|2 times 1 = |x-3|2 .
Então,
Para a série convergir, precisamos que |x-3|2 < 1 implies |x-3| < 2 implies -2 < x-3 < 2 implies 1 < x < 5 :
Portanto, o intervalo de convergência é .

Passo 3

Agora, vamos verificar a convergência nos pontos extremos do intervalo, ou seja, em sumn=1^infty (1-3)^nn 2^n = sumn=1^infty (-2)^nn 2^n = sumn=1^infty (-1)^nn e sumn=1^infty (5-3)^nn 2^n = sumn=1^infty 2^nn 2^n = sumn=1^infty 1n .
  • Para :
Esta é uma série alternada , que converge pelo teste da série alternada.
  • Para :
Esta é a série harmônica , que diverge.

Resposta

A afirmação é FALSA, pois a série não converge para , embora converja para .

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