Assinale V ou F: A série de potências converge para ;
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos determinar se a série de potências converge para todos os valores de no intervalo . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências e critérios de convergência, como o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o intervalo de convergência da série. Para isso, aplicamos o teste da razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Calculamos o limite:
Onde .
Então,
Para a série convergir, precisamos que :
Portanto, o intervalo de convergência é .
Passo 3
Agora, vamos verificar a convergência nos pontos extremos do intervalo, ou seja, em e .
Para :
Esta é uma série alternada, que converge pelo teste da série alternada.
Para :
Esta é a série harmônica, que diverge.
Resposta
A afirmação é FALSA, pois a série não converge para , embora converja para .