Determine a expansão em série de potências para
em torno de
. Determine o raio e o intervalo de convergência da expansão encontrada. Justifique cada passo de sua resolução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar a expansão em série de potências para a função
em torno de
. Além disso, precisamos determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de séries de Taylor e entender como aplicá-las em funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor para
em torno de
é dada por:
Essa série converge quando
. No nosso caso, temos
. Então, substituindo
por
, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão:
Isso é a expansão em série de potências para
em torno de
.
Passo 4
Para encontrar o raio de convergência (
) da série, usamos a condição de convergência
. Como
, temos:
Então, o raio de convergência é
.
Passo 5
O intervalo de convergência é o conjunto de valores de
para os quais a série converge. Com
, o intervalo é:
Resposta
A expansão em série de potências para
em torno de
é:
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.
Exercícios relacionados
Assinale V ou F: A série de potências
converge para
;
Assinale V ou F: O raio de convergência da série de potências
é
;
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergentes, condicionalmente convergente ou divergente. Justifique sua resposta.
a) Represente o domínio de f no plano
b) Identifique as interseções do gráfico de
c) Faça um esboço do gráfico de