Determine a expansão em série de potências para em torno de . Determine o raio e o intervalo de convergência da expansão encontrada. Justifique cada passo de sua resolução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar a expansão em série de potências para a função em torno de . Além disso, precisamos determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de séries de Taylor e entender como aplicá-las em funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor para em torno de é dada por:
Essa série converge quando . No nosso caso, temos . Então, substituindo por , temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão:
Isso é a expansão em série de potências para em torno de .

Passo 4

Para encontrar o raio de convergência ( ) da série, usamos a condição de convergência . Como , temos:
Então, o raio de convergência é .

Passo 5

O intervalo de convergência é o conjunto de valores de para os quais a série converge. Com , o intervalo é:

Resposta

A expansão em série de potências para em torno de é:
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Assinale V ou F: A série de potências converge para ;
Assinale V ou F: O raio de convergência da série de potências é ;
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergentes, condicionalmente convergente ou divergente. Justifique sua resposta.
.
a) Represente o domínio de f no plano e determine a imagem de f .
b) Identifique as interseções do gráfico de com os planos e .
c) Faça um esboço do gráfico de .