Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergentes, condicionalmente convergente ou divergente. Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dos termos também converge. Ou seja, vamos analisar .

Passo 3

Sabemos que sempre é menor ou igual a 1 para qualquer valor de . Então, temos:
Isso nos leva a comparar com a série .

Passo 4

A série é uma série p, onde . Sabemos que séries p convergem quando . Portanto, converge.

Passo 5

Como e converge, pela comparação, a série dos valores absolutos também converge.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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Determine a expansão em série de potências para em torno de . Determine o raio e o intervalo de convergência da expansão encontrada. Justifique cada passo de sua resolução.
Assinale V ou F: A série de potências converge para ;
.
a) Represente o domínio de f no plano e determine a imagem de f .
b) Identifique as interseções do gráfico de com os planos e .
c) Faça um esboço do gráfico de .
Dada a função , pede-se:
a) As equações das curvas de nível e .
b) A equação e o esboço da curva de nível que contém o ponto .
c) Um esboço do gráfico da função.