Assinale a única equação que representa uma circunferência.
5 x^2+5 y^2-12 x+4 y+7=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificarmos se a equação representa uma circunferência. Para isso, vamos usar os conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as equações de círculos. Precisamos rearranjar a equação para a forma padrão de uma circunferência, completando o quadrado para as variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 5 para facilitar os cálculos:
x^2 + y^2 - 125x + 45y + 75 = 0
Isso deixa a equação com coeficientes mais manejáveis.

Passo 3

Agora, vamos agrupar os termos de (x^2 - 125x) + (y^2 + 45y) = -75 e os de :

Passo 4

Para completar o quadrado, precisamos adicionar e subtrair os termos necessários dentro de cada parêntese. Para (x^2 - 125x + 3625) + (y^2 + 45y + 425) = -75 + 3625 + 425 :
  • Coeficiente de é . Metade disso é , e o quadrado de é .
Para :
  • Coeficiente de é . Metade disso é , e o quadrado de é .
Adicionamos esses quadrados aos dois lados da equação:

Passo 5

Simplificando os parênteses, temos:
(x - 65)^2 + (y + 25)^2 = -75 + 4025
Convertendo (x - 65)^2 + (y + 25)^2 = 525 para (x - 65)^2 + (y + 25)^2 = 15 , a equação fica:
Que simplifica para:

Passo 6

A forma final é a equação padrão da circunferência:
(x - 65)^2 + (y + 25)^2 = (raiz55)^2
Aqui, o centro da circunferência é e o raio é .

Resposta

A equação dada representa uma circunferência com centro em (x - 65)^2 + (y + 25)^2 = 15 e raio , conforme a forma padrão:

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