Assinale a única equação que representa uma circunferência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificarmos se a equação representa uma circunferência. Para isso, vamos usar os conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as equações de círculos. Precisamos rearranjar a equação para a forma padrão de uma circunferência, completando o quadrado para as variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 5 para facilitar os cálculos:
Isso deixa a equação com coeficientes mais manejáveis.

Passo 3

Agora, vamos agrupar os termos de e os de :

Passo 4

Para completar o quadrado, precisamos adicionar e subtrair os termos necessários dentro de cada parêntese. Para :
  • Coeficiente de é . Metade disso é , e o quadrado de é .
Para :
  • Coeficiente de é . Metade disso é , e o quadrado de é .
Adicionamos esses quadrados aos dois lados da equação:

Passo 5

Simplificando os parênteses, temos:
Convertendo para , a equação fica:
Que simplifica para:

Passo 6

A forma final é a equação padrão da circunferência:
Aqui, o centro da circunferência é e o raio é .

Resposta

A equação dada representa uma circunferência com centro em e raio , conforme a forma padrão:

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c) (1,0 ponto) Encontre a equação do subespaço gerado por e .
Determine o maior valor inteiro de para que a equação seja de uma circunferência.
Assinale a única equação que representa uma circunferência.
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d) (1,0 ponto) Determine a projeção ortogonal de sobre quando .