Determine o maior valor inteiro de k para que a equação x^2+y^2+6 x+14 y+k=0 seja de uma circunferência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o maior valor inteiro de para que a equação represente uma circunferência. Isso está ligado ao conteúdo de geometria analítica, especificamente à forma da equação geral da circunferência. Vamos precisar completar o quadrado para transformar essa equação na forma padrão da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar os termos para completar o quadrado nos termos de x^2 + 6x + y^2 + 14y + k = 0 e :
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e para os termos de .

Passo 3

Completar o quadrado para x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9 :
y^2 + 14y = (y + 7)^2 - 49
Completar o quadrado para :

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
(x + 3)^2 - 9 + (y + 7)^2 - 49 + k = 0
Simplificando:
(x + 3)^2 + (y + 7)^2 = 58 - k

Passo 5

Para que a equação represente uma circunferência, o lado direito precisa ser positivo (pois é igual ao raio ao quadrado):
58 - k > 0 implies k < 58
Como queremos o maior valor inteiro de que satisfaz essa condição, deve ser 57.

Resposta

O maior valor inteiro de é 57.

Exercícios relacionados