Assinale a única equação que representa uma circunferência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar qual equação representa uma circunferência. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a forma padrão da equação de uma circunferência. Precisamos completar o quadrado para transformar a equação dada na forma , onde é o centro e é o raio da circunferência.

Passo 2

Vamos começar com a equação que nos foi dada:
Nosso objetivo é rearranjá-la para a forma padrão da circunferência.

Passo 3

Primeiro, vamos agrupar os termos com e os termos com separadamente:
Isso facilita o processo de completar o quadrado para cada variável.

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de :
  1. Pegue os coeficientes de , que são para e para .
  2. Divida o coeficiente linear por 2 e eleve ao quadrado: .
  3. Adicione e subtraia esse valor na equação:
Isso nos permite reescrever a parte de como um quadrado perfeito:

Passo 5

Vamos fazer o mesmo para os termos de :
  1. Os coeficientes de são para e para .
  2. Divida o coeficiente linear por 2 e eleve ao quadrado: .
  3. Adicione e subtraia esse valor:
Assim, a parte de fica:

Passo 6

Agora, vamos somar os termos constantes:
Substituindo na equação:

Passo 7

Vamos isolar os termos quadrados:
Convertendo para ter o mesmo denominador:
Então:

Resposta

A equação resultante é:
Como o lado direito da equação deu um número negativo ( ), isso indica que não existe uma circunferência real correspondente a essa equação, já que o raio seria a raiz quadrada de um número negativo, o que não é possível no conjunto dos números reais. Portanto, a equação não representa uma circunferência.

Exercícios relacionados

Assinale a única equação que representa uma circunferência.
Considere os vetores e do . Determine vetores não nulos tais que:
c) (1,0 ponto) Encontre a equação do subespaço gerado por e .
Considere o espaço vetorial é contínua sobre munido com o seguinte produto:
d) (1,0 ponto) Determine a projeção ortogonal de sobre quando .
Obtenha os valores reais de p para que a equação represente uma circunferência.