Assinale a única equação que representa uma circunferência.
x^2+y^2-5 x+y+9=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar qual equação representa uma circunferência. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a forma padrão da equação de uma circunferência. Precisamos completar o quadrado para transformar a equação dada na forma , onde é o centro e é o raio da circunferência.

Passo 2

Vamos começar com a equação que nos foi dada:
x^2 + y^2 - 5x + y + 9 = 0
Nosso objetivo é rearranjá-la para a forma padrão da circunferência.

Passo 3

Primeiro, vamos agrupar os termos com x^2 - 5x + y^2 + y = -9 e os termos com separadamente:
Isso facilita o processo de completar o quadrado para cada variável.

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x^2 - 5x + 254 - 254 + y^2 + y = -9 :
  1. Pegue os coeficientes de (x - 52)^2 - 254 + y^2 + y = -9 , que são para e para .
  2. Divida o coeficiente linear por 2 e eleve ao quadrado: .
  3. Adicione e subtraia esse valor na equação:
Isso nos permite reescrever a parte de como um quadrado perfeito:

Passo 5

Vamos fazer o mesmo para os termos de (x - 52)^2 - 254 + y^2 + y + 14 - 14 = -9 :
  1. Os coeficientes de (x - 52)^2 + (y + 12)^2 - 254 - 14 = -9 são para e para .
  2. Divida o coeficiente linear por 2 e eleve ao quadrado: .
  3. Adicione e subtraia esse valor:
Assim, a parte de fica:

Passo 6

Agora, vamos somar os termos constantes:
- 254 - 14 = -264 = -132
Substituindo na equação:
(x - 52)^2 + (y + 12)^2 - 132 = -9

Passo 7

Vamos isolar os termos quadrados:
(x - 52)^2 + (y + 12)^2 = -9 + 132
Convertendo -9 = -182 para ter o mesmo denominador:
(x - 52)^2 + (y + 12)^2 = -182 + 132 = -52
Então:

Resposta

A equação resultante é:
(x - 52)^2 + (y + 12)^2 = -52
Como o lado direito da equação deu um número negativo ( ), isso indica que não existe uma circunferência real correspondente a essa equação, já que o raio seria a raiz quadrada de um número negativo, o que não é possível no conjunto dos números reais. Portanto, a equação não representa uma circunferência.

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