Considere o espaço vetorial V=f:[a, b] R ; f é contínua sobre R munido com o seguinte produto:
lang<= f1, f2rang<==integrala^b f1(t) f2(t) d t, forall f1, f2 in V
d) (1,0 ponto) Determine a projeção ortogonal de f2(t)=t^2 sobre f0(t)=1 quando a=-b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a projeção ortogonal da função sobre a função no espaço vetorial de funções contínuas no intervalo , onde . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente projeções em espaços vetoriais com produto interno definido.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular a projeção ortogonal de uma função sobre outra em um espaço vetorial com produto interno. A projeção de Projg(f) = lang<= f, g rang<=lang<= g, g rang<= cdot g sobre é dada pela fórmula:
Aqui, representa o produto interno entre e .

Passo 3

Vamos calcular o produto interno lang<= f2, f0 rang<= = integrala^b f2(t) cdot f0(t) , dt = integral-b^b t^2 cdot 1 , dt . Pelo enunciado, o produto interno é definido por:
Como , o intervalo de integração fica de a .

Passo 4

Vamos resolver a integral:
lang<= f2, f0 rang<= = integral-b^b t^2 , dt
Sabemos que a função integral-b^b t^2 , dt = 2 integral0^b t^2 , dt = 2 [ t^33 ]0^b = 2 ( b^33 - 0 ) = 2b^33 é par, então podemos simplificar:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto interno lang<= f0, f0 rang<= = integrala^b f0(t) cdot f0(t) , dt = integral-b^b 1 cdot 1 , dt = integral-b^b 1 , dt = 2b :

Passo 6

Aplicando a fórmula da projeção:
Projf0(f2) = lang<= f2, f0 rang<=lang<= f0, f0 rang<= cdot f0(t) = 2b^332b cdot 1 = b^23 cdot 1 = b^23

Resposta

A projeção ortogonal de sobre é a função constante .

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