Considere o espaço vetorial
é contínua
sobre
munido com o seguinte produto:
d) (1,0 ponto) Determine a projeção ortogonal de
sobre
quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a projeção ortogonal da função
sobre a função
no espaço vetorial
de funções contínuas no intervalo
, onde
. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente projeções em espaços vetoriais com produto interno definido.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular a projeção ortogonal de uma função sobre outra em um espaço vetorial com produto interno. A projeção de
sobre
é dada pela fórmula:
Aqui,
representa o produto interno entre
e
.
Passo 3
Vamos calcular o produto interno
. Pelo enunciado, o produto interno é definido por:
Como
, o intervalo de integração fica de
a
.
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Sabemos que a função
é par, então podemos simplificar:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto interno
:
Passo 6
Aplicando a fórmula da projeção:
Resposta
A projeção ortogonal de
sobre
é a função constante
.
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