Considere o espaço vetorial é contínua sobre munido com o seguinte produto:
d) (1,0 ponto) Determine a projeção ortogonal de sobre quando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a projeção ortogonal da função sobre a função no espaço vetorial de funções contínuas no intervalo , onde . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente projeções em espaços vetoriais com produto interno definido.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular a projeção ortogonal de uma função sobre outra em um espaço vetorial com produto interno. A projeção de sobre é dada pela fórmula:
Aqui, representa o produto interno entre e .

Passo 3

Vamos calcular o produto interno . Pelo enunciado, o produto interno é definido por:
Como , o intervalo de integração fica de a .

Passo 4

Vamos resolver a integral:
Sabemos que a função é par, então podemos simplificar:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto interno :

Passo 6

Aplicando a fórmula da projeção:

Resposta

A projeção ortogonal de sobre é a função constante .

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