Considere os vetores u=(1,0,1) e v=(1,2,1) do R^3. Determine vetores w1, w2 não nulos tais que:
c) (1,0 ponto) Encontre a equação do subespaço gerado por w1 e w2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional, e . A tarefa aqui é encontrar a equação do subespaço gerado por dois vetores e . Basicamente, isso significa que queremos descrever o conjunto de todos os pontos que podem ser formados combinando linearmente esses dois vetores. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como encontrar sua equação no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um subespaço gerado por dois vetores w1 times w2 = i & j & k w1x & w1y & w1z w2x & w2y & w2z e no é, geralmente, um plano que passa pela origem. Para encontrar a equação desse plano, precisamos de um vetor normal a ele, ou seja, um vetor que seja perpendicular a ambos e .
Uma maneira prática de achar esse vetor normal é através do produto vetorial (também conhecido como produto cruzado) dos dois vetores geradores. O produto vetorial de e nos dará exatamente esse vetor perpendicular.
Então, vamos calcular :
Onde são os vetores unitários nas direções dos eixos respectivamente.

Passo 3

Vamos supor que w1 times w2 = i & j & k 1 & 0 & 1 1 & 2 & 1 e w1 times w2 = i(0 cdot 1 - 1 cdot 2) - j(1 cdot 1 - 1 cdot 1) + k(1 cdot 2 - 0 cdot 1) = i(-2) - j(0) + k(2) . Agora, vamos calcular o produto vetorial:
n = (-2, 0, 2)
Calculando o determinante:
Portanto, o vetor normal é:

Passo 4

Com o vetor normal A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 , podemos escrever a equação do plano. A forma geral da equação de um plano é:
-2x + 0y + 2z = 0
Onde -2x + 2z = 0 ou x = z são as componentes do vetor normal e é um ponto pelo qual o plano passa. Como estamos falando de um subespaço vetorial que passa pela origem, .
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação do subespaço gerado por e é .

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