Considere os vetores e do . Determine vetores não nulos tais que:
c) (1,0 ponto) Encontre a equação do subespaço gerado por e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional, e . A tarefa aqui é encontrar a equação do subespaço gerado por dois vetores e . Basicamente, isso significa que queremos descrever o conjunto de todos os pontos que podem ser formados combinando linearmente esses dois vetores. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como encontrar sua equação no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um subespaço gerado por dois vetores e no é, geralmente, um plano que passa pela origem. Para encontrar a equação desse plano, precisamos de um vetor normal a ele, ou seja, um vetor que seja perpendicular a ambos e .
Uma maneira prática de achar esse vetor normal é através do produto vetorial (também conhecido como produto cruzado) dos dois vetores geradores. O produto vetorial de e nos dará exatamente esse vetor perpendicular.
Então, vamos calcular :
Onde são os vetores unitários nas direções dos eixos respectivamente.
Passo 3
Vamos supor que w1 times w2 = i & j & k 1 & 0 & 1 1 & 2 & 1 e w1 times w2 = i(0 cdot 1 - 1 cdot 2) - j(1 cdot 1 - 1 cdot 1) + k(1 cdot 2 - 0 cdot 1) = i(-2) - j(0) + k(2) . Agora, vamos calcular o produto vetorial:
n = (-2, 0, 2)
Calculando o determinante:
Portanto, o vetor normal é:
Passo 4
Com o vetor normal A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 , podemos escrever a equação do plano. A forma geral da equação de um plano é:
-2x + 0y + 2z = 0
Onde -2x + 2z = 0 ou x = z são as componentes do vetor normal e é um ponto pelo qual o plano passa. Como estamos falando de um subespaço vetorial que passa pela origem, .