Obtenha os valores reais de p para que a equação
represente uma circunferência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores reais de
que fazem com que a equação
seja a equação de uma circunferência. Para isso, vamos precisar trabalhar com a geometria analítica, especificamente com a forma padrão da equação da circunferência. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a identificação da forma padrão da circunferência. A equação inicial é:
Vamos reorganizar os termos para agrupar os termos de
e
:
Passo 3
Agora, para transformar essa equação na forma padrão da circunferência, precisamos completar o quadrado para o termo de
. Completar o quadrado é uma técnica usada para transformar expressões quadráticas em uma forma que facilita a identificação do centro e do raio da circunferência.
O termo que temos para
é
. Para completar o quadrado, seguimos estes passos:
- Pegamos o coeficiente de
, que é -4. - Dividimos esse coeficiente por 2:
. - Elevamos esse resultado ao quadrado:
.
Então, adicionamos e subtraímos 4 na equação:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora temos a equação na forma padrão da circunferência:
Aqui, podemos identificar:
- O centro da circunferência está em
. - O raio da circunferência é
.
Para que essa circunferência seja real, o raio precisa ser um número real positivo. Isso significa que a expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior que zero:
Resposta
Os valores reais de
que fazem com que a equação seja uma circunferência são todos os números maiores que
. Ou seja:
Exercícios relacionados
Considere o espaço vetorial
é contínua
sobre
munido com o seguinte produto:
d) (1,0 ponto) Determine a projeção ortogonal de
sobre
quando
.
Assinale a única equação que representa uma circunferência.
Assinale a única equação que representa uma circunferência.
Sejam
e
subconjuntos do
.
a) (1,5 pontos) Mostre que e
são subespaços vetoriais de
, sendo que para pelo menos um deles você deve mostrar usando a definição.
a) (1,5 pontos) Mostre que