Obtenha os valores reais de p para que a equação x^2+y^2-4 x-p=0 represente uma circunferência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores reais de que fazem com que a equação seja a equação de uma circunferência. Para isso, vamos precisar trabalhar com a geometria analítica, especificamente com a forma padrão da equação da circunferência. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a identificação da forma padrão da circunferência. A equação inicial é:
x^2 + y^2 - 4x - p = 0
Vamos reorganizar os termos para agrupar os termos de x^2 - 4x + y^2 = p e :

Passo 3

Agora, para transformar essa equação na forma padrão da circunferência, precisamos completar o quadrado para o termo de x^2 - 4x + 4 - 4 + y^2 = p . Completar o quadrado é uma técnica usada para transformar expressões quadráticas em uma forma que facilita a identificação do centro e do raio da circunferência.
O termo que temos para (x - 2)^2 + y^2 = p + 4 é . Para completar o quadrado, seguimos estes passos:
  1. Pegamos o coeficiente de , que é -4.
  2. Dividimos esse coeficiente por 2: .
  3. Elevamos esse resultado ao quadrado: .
Então, adicionamos e subtraímos 4 na equação:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora temos a equação na forma padrão da circunferência:
(x - 2)^2 + y^2 = p + 4
Aqui, podemos identificar:
  • O centro da circunferência está em p + 4 > 0 .
  • O raio da circunferência é .
Para que essa circunferência seja real, o raio precisa ser um número real positivo. Isso significa que a expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior que zero:

Resposta

Os valores reais de p > -4 que fazem com que a equação seja uma circunferência são todos os números maiores que . Ou seja:

Exercícios relacionados