Obtenha os valores reais de p para que a equação represente uma circunferência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores reais de que fazem com que a equação seja a equação de uma circunferência. Para isso, vamos precisar trabalhar com a geometria analítica, especificamente com a forma padrão da equação da circunferência. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a identificação da forma padrão da circunferência. A equação inicial é:
Vamos reorganizar os termos para agrupar os termos de e :

Passo 3

Agora, para transformar essa equação na forma padrão da circunferência, precisamos completar o quadrado para o termo de . Completar o quadrado é uma técnica usada para transformar expressões quadráticas em uma forma que facilita a identificação do centro e do raio da circunferência.
O termo que temos para é . Para completar o quadrado, seguimos estes passos:
  1. Pegamos o coeficiente de , que é -4.
  2. Dividimos esse coeficiente por 2: .
  3. Elevamos esse resultado ao quadrado: .
Então, adicionamos e subtraímos 4 na equação:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora temos a equação na forma padrão da circunferência:
Aqui, podemos identificar:
  • O centro da circunferência está em .
  • O raio da circunferência é .
Para que essa circunferência seja real, o raio precisa ser um número real positivo. Isso significa que a expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior que zero:

Resposta

Os valores reais de que fazem com que a equação seja uma circunferência são todos os números maiores que . Ou seja:

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Considere o espaço vetorial é contínua sobre munido com o seguinte produto:
d) (1,0 ponto) Determine a projeção ortogonal de sobre quando .
Assinale a única equação que representa uma circunferência.
Assinale a única equação que representa uma circunferência.
Sejam e subconjuntos do .
a) (1,5 pontos) Mostre que e são subespaços vetoriais de , sendo que para pelo menos um deles você deve mostrar usando a definição.