Assinale a única integral convergente.
square integral1^infty x^4+6 x+2x^5+9 x+4 d x
square integral-infty^infty e^-x d x
square integral0^pi2 sec ^2 x d x
square integral0^2 1(x-1)^2 d x
square integral0^infty x^3+3 x+1x^5+7 x+1 d x

Passo 1

Vamos analisar a questão proposta. Temos cinco integrais definidas e precisamos identificar qual delas é convergente. Para isso, utilizaremos conceitos de cálculo de integrais impróprias e analisaremos o comportamento das funções nos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, observemos a integral . Para determinar a convergência, vamos simplificar a função quando tende ao infinito. O termo de maior grau no numerador é e no denominador é , então a função se comporta aproximadamente como . Sabemos que é uma integral divergente, logo esta integral também é divergente.

Passo 3

Agora, consideremos a integral . Vamos analisar os limites de integração:
  • Quando , , o que é bom para a convergência.
  • Mas quando , , o que faz com que a integral seja divergente.
Portanto, essa integral não é convergente.

Passo 4

Em seguida, analisamos a integral tan(pi2) - tan(0) = infty - 0 = infty . Sabemos que a antiderivada de é . Avaliando nos limites:
Como o resultado tende ao infinito, a integral é divergente.

Passo 5

Vamos agora para a integral . Há um ponto de descontinuidade em , dentro do intervalo de integração. Próximo a esse ponto, a função tende ao infinito, o que faz com que a integral seja divergente.

Passo 6

Por fim, analisamos a integral . Para , a função se comporta como . Sabemos que é convergente. Além disso, a função não possui descontinuidades no intervalo considerado. Portanto, essa integral é convergente.

Resposta

A única integral convergente é .

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