Assinale a única integral convergente.
Passo 1
Vamos analisar a questão proposta. Temos cinco integrais definidas e precisamos identificar qual delas é convergente. Para isso, utilizaremos conceitos de cálculo de integrais impróprias e analisaremos o comportamento das funções nos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, observemos a integral
. Para determinar a convergência, vamos simplificar a função quando
tende ao infinito. O termo de maior grau no numerador é
e no denominador é
, então a função se comporta aproximadamente como
. Sabemos que
é uma integral divergente, logo esta integral também é divergente.
Passo 3
Agora, consideremos a integral
. Vamos analisar os limites de integração:
- Quando
, , o que é bom para a convergência. - Mas quando
, , o que faz com que a integral seja divergente.
Portanto, essa integral não é convergente.
Passo 4
Em seguida, analisamos a integral
. Sabemos que a antiderivada de
é
. Avaliando nos limites:
Como o resultado tende ao infinito, a integral é divergente.
Passo 5
Vamos agora para a integral
. Há um ponto de descontinuidade em
, dentro do intervalo de integração. Próximo a esse ponto, a função
tende ao infinito, o que faz com que a integral seja divergente.
Passo 6
Por fim, analisamos a integral
. Para
, a função se comporta como
. Sabemos que
é convergente. Além disso, a função não possui descontinuidades no intervalo considerado. Portanto, essa integral é convergente.
Resposta
A única integral convergente é
.
Exercícios relacionados
Seja
.
Desenvolva em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de
de período 4 .
Desenvolva
Mostre que a série
converge e obtenha o seu valor.
Dada a função
,
Desenvolva em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de
de período 4 .
Desenvolva
Considere os vetores
e
. Se
-
é o volume do paralelepípedo formado por e ; -
é a área do paralelogramo formado por ;
entãoé: