Considere os vetores u = <1, 2, -1>, v = <-1, 0, 3> e w = <4, -1, 2>. Se
  • V é o volume do paralelepípedo formado por u, v e w;
  • A é a área do paralelogramo formado por u e v;
    então A^2 - V + v . w é:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado! Temos três vetores:
Precisamos calcular a expressão , onde:
  • é a área do paralelogramo formado por e .
  • é o volume do paralelepípedo formado por , e .
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas operações com vetores: produto vetorial, produto escalar e módulo de vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a área do paralelogramo formado por e .
A área de um paralelogramo formado por dois vetores é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores:
Produto Vetorial ( ):
O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois originais, e seu módulo é proporcional à área do paralelogramo.
Vamos calcular :
Agora, calculamos o módulo desse vetor:

Passo 3

Agora, vamos calcular o volume do paralelepípedo formado por , e .
O volume é dado pelo valor absoluto do produto misto desses vetores:
Primeiro, precisamos calcular :
Agora, fazemos o produto escalar com :
Assim,

Passo 4

Por último, vamos calcular o produto escalar :

Resposta

Agora, substituímos os valores encontrados na expressão :
Resposta final:

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