Mostre que a série converge e obtenha o seu valor.
Passo 1
Aqui temos uma série infinita: . Nosso objetivo é mostrar que essa série converge e descobrir o valor para o qual ela converge. Vamos trabalhar com séries geométricas e propriedades de expoentes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série. Observe que:
Passo 3
Simplificando os termos constantes:
Então, a série fica:
Passo 4
Agora, reconhecemos que temos uma série geométrica da forma , onde . Sabemos que uma série geométrica converge se .
No nosso caso, , então a série converge.
Passo 5
Para encontrar a soma da série geométrica, usamos a fórmula: