Mostre que a série sumn=0^infty 2^n-3 3^2-n converge e obtenha o seu valor.

Passo 1

Aqui temos uma série infinita: sumn=0^infty 2^n-3 3^2-n. Nosso objetivo é mostrar que essa série converge e descobrir o valor para o qual ela converge. Vamos trabalhar com séries geométricas e propriedades de expoentes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série. Observe que:
2^n-3 3^2-n = 2^n cdot 2^-3 cdot 3^2 cdot 3^-n = ( 23 )^n cdot 3^22^3

Passo 3

Simplificando os termos constantes:
3^22^3 = 98
Então, a série fica:
sumn=0^infty ( 23 )^n cdot 98 = 98 sumn=0^infty ( 23 )^n

Passo 4

Agora, reconhecemos que temos uma série geométrica da forma sumn=0^infty r^n, onde r = 23. Sabemos que uma série geométrica converge se |r| < 1.
No nosso caso, | 23 | = 23 < 1, então a série converge.

Passo 5

Para encontrar a soma da série geométrica, usamos a fórmula:
sumn=0^infty r^n = 11 - r
Substituindo r = 23:
sumn=0^infty ( 23 )^n = 11 - 23 = 113 = 3

Passo 6

Agora, voltando à nossa série original:
98 cdot 3 = 278

Resposta

A série converge e seu valor é 278.

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