Seja .
Desenvolva em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de de período 4 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para desenvolver a função no intervalo em uma série de Fourier composta apenas por senos. Além disso, precisamos desenhar o gráfico da extensão periódica dessa função com período 4. Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, especificamente a série de Fourier de senos, que é útil quando a função é definida em apenas um intervalo e assume certas simetrias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier de senos é usada para representar funções que são definidas em um intervalo e estendidas de forma ímpar para . No nosso caso, , então vamos estender para de forma ímpar e depois repetir esse padrão a cada intervalo de 4 unidades para obter a função periódica com período 4.
Passo 3
A fórmula geral para a série de Fourier de senos de uma função no intervalo é:
onde os coeficientes são calculados por:
No nosso caso, , então a série fica:
Passo 4
Vamos calcular os coeficientes . Substituindo e na fórmula dos coeficientes:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes, onde definimos:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Passo 6
Calculando os termos:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Pois para todo inteiro .
Passo 7
Portanto, o coeficiente fica:
Passo 8
Assim, a série de Fourier de senos para no intervalo e estendida periodicamente com período 4 é:
Resposta
A série de Fourier de senos para a função no intervalo e estendida periodicamente com período 4 é:
Esse gráfico será uma função periódica com período 4, composta por ondas senoidais que se repetem a cada intervalo de 4 unidades, representando a extensão ímpar de .