Seja f(x) = x 0 <= x <= 2.
Desenvolva f(x) em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de f(x) de período 4 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para desenvolver a função no intervalo em uma série de Fourier composta apenas por senos. Além disso, precisamos desenhar o gráfico da extensão periódica dessa função com período 4. Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, especificamente a série de Fourier de senos, que é útil quando a função é definida em apenas um intervalo e assume certas simetrias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier de senos é usada para representar funções que são definidas em um intervalo e estendidas de forma ímpar para . No nosso caso, , então vamos estender para de forma ímpar e depois repetir esse padrão a cada intervalo de 4 unidades para obter a função periódica com período 4.

Passo 3

A fórmula geral para a série de Fourier de senos de uma função no intervalo é:
onde os coeficientes são calculados por:
No nosso caso, , então a série fica:

Passo 4

Vamos calcular os coeficientes . Substituindo e na fórmula dos coeficientes:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes, onde definimos:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo:

Passo 6

Calculando os termos:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Pois para todo inteiro .

Passo 7

Portanto, o coeficiente fica:

Passo 8

Assim, a série de Fourier de senos para no intervalo e estendida periodicamente com período 4 é:

Resposta

A série de Fourier de senos para a função no intervalo e estendida periodicamente com período 4 é:
Esse gráfico será uma função periódica com período 4, composta por ondas senoidais que se repetem a cada intervalo de 4 unidades, representando a extensão ímpar de .

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