Dada a função
,
Desenvolva
em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de
de período 4 .
Desenvolva
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Queremos desenvolver
em uma série de Fourier de senos e desenhar o gráfico da extensão periódica dessa função com período 4. Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries de Fourier, especificamente a série de senos, já que vamos trabalhar com uma função definida em um intervalo e estendê-la de forma periódica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o intervalo de definição da função e o período para a qual vamos estender a função. A função
está definida no intervalo
, e queremos que a extensão periódica tenha período 4. Isso significa que nosso intervalo de meio-período será
.
Passo 3
Como a função é definida no intervalo
, vamos estender a função de forma ímpar para acomodar a série de senos. Funções ímpares têm a propriedade de satisfazer
, o que nos permite utilizar apenas termos de senos na série de Fourier.
Passo 4
A série de Fourier de senos para uma função ímpar com período
é dada por:
onde os coeficientes
são calculados por:
Passo 5
Neste caso,
, então os coeficientes ficam:
Mas nossa função
é 1 para
e 0 para
. Portanto, podemos dividir a integral:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Fazendo a integração:
Simplificando:
Passo 7
Vamos simplificar
. Observando os valores de
:
- Para
ímpar (1, 3, 5, …): - Para
par (2, 4, 6, …):
Portanto, para
ímpar:
E para
par, os coeficientes
vão alternar entre valores diferentes, mas como a função original é zero nessas partes, apenas os termos ímpares contribuirão significativamente na série.
Passo 8
Portanto, a série de Fourier em senos para
fica:
onde
é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …).
Passo 9
Agora, para desenhar o gráfico da extensão periódica de
com período 4, plotamos a série de Fourier desenvolvida acima, considerando que a função se repete a cada intervalo de comprimento 4. O gráfico mostrará uma onda senoidal composta pelos termos da série, aproximando-se da forma original da função nos intervalos definidos.
Resposta
A série de Fourier de senos para a função
é:
Essa série representa a extensão periódica de
com período 4.
Exercícios relacionados
Assinale a única integral convergente.
Seja
.
Desenvolva em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de
de período 4 .
Desenvolva
Considere os vetores
e
. Se
-
é o volume do paralelepípedo formado por e ; -
é a área do paralelogramo formado por ;
entãoé:
Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
.