Dada a função f(x) = { 1, 0 < x < 1; 0, 1 < x < 2 },
Desenvolva f(x) em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de f(x) de período 4 .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Queremos desenvolver em uma série de Fourier de senos e desenhar o gráfico da extensão periódica dessa função com período 4. Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries de Fourier, especificamente a série de senos, já que vamos trabalhar com uma função definida em um intervalo e estendê-la de forma periódica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o intervalo de definição da função e o período para a qual vamos estender a função. A função está definida no intervalo , e queremos que a extensão periódica tenha período 4. Isso significa que nosso intervalo de meio-período será .

Passo 3

Como a função é definida no intervalo , vamos estender a função de forma ímpar para acomodar a série de senos. Funções ímpares têm a propriedade de satisfazer , o que nos permite utilizar apenas termos de senos na série de Fourier.

Passo 4

A série de Fourier de senos para uma função ímpar com período é dada por:
onde os coeficientes são calculados por:

Passo 5

Neste caso, , então os coeficientes ficam:
Mas nossa função é 1 para e 0 para . Portanto, podemos dividir a integral:

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Fazendo a integração:
Simplificando:

Passo 7

Vamos simplificar . Observando os valores de :
  • Para ímpar (1, 3, 5, …):
  • Para par (2, 4, 6, …):
Portanto, para ímpar:
E para par, os coeficientes vão alternar entre valores diferentes, mas como a função original é zero nessas partes, apenas os termos ímpares contribuirão significativamente na série.

Passo 8

Portanto, a série de Fourier em senos para fica:
onde é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …).

Passo 9

Agora, para desenhar o gráfico da extensão periódica de com período 4, plotamos a série de Fourier desenvolvida acima, considerando que a função se repete a cada intervalo de comprimento 4. O gráfico mostrará uma onda senoidal composta pelos termos da série, aproximando-se da forma original da função nos intervalos definidos.

Resposta

A série de Fourier de senos para a função é:
Essa série representa a extensão periódica de com período 4.

Exercícios relacionados

Assinale a única integral convergente.
square integral1^infty x^4+6 x+2x^5+9 x+4 d x
square integral-infty^infty e^-x d x
square integral0^pi2 sec ^2 x d x
square integral0^2 1(x-1)^2 d x
square integral0^infty x^3+3 x+1x^5+7 x+1 d x
Seja f(x) = x 0 <= x <= 2.
Desenvolva f(x) em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de f(x) de período 4 .
Considere os vetores u = <1, 2, -1>, v = <-1, 0, 3> e w = <4, -1, 2>. Se
  • V é o volume do paralelepípedo formado por u, v e w;
  • A é a área do paralelogramo formado por u e v;
    então A^2 - V + v . w é:
Determine se as séries a seguir convergem ou divergem. sumn=0^infty (-1)^n n^2n^3+1.