Assinale V ou F para as afirmativas abaixo, justificando suas respostas:
IV)
y for solução do problema de valor inicial da equação diferencial
quando
, então
IV)
Passo 1
Então, vamos lá! Você me mandou um exercício que pede para a gente dizer se certas afirmações são verdadeiras (V) ou falsas (F) e justificar. A afirmação IV fala sobre uma solução de uma equação diferencial específica e qual é o limite dessa solução quando
vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e limites. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação diferencial que temos:
E também temos a condição inicial
. Essa é uma equação diferencial do tipo logística, que modela o crescimento de uma população com um limite máximo de capacidade, no caso, 5.
Passo 3
Agora, vamos entender o que essa equação está nos dizendo. A taxa de variação de
em relação a
depende de
e de um termo que limita
a 5. Quando
está bem abaixo de 5, a população cresce rapidamente, mas conforme se aproxima de 5, o crescimento desacelera e eventualmente para.
Passo 4
Para encontrar o comportamento de
quando
vai para o infinito, olhamos para os pontos de equilíbrio, ou seja, os valores de
que fazem com que
:
Isso acontece quando
ou
.
Passo 5
Como a condição inicial é
, que é menor que 5, e considerando que a taxa de variação é positiva nesse intervalo (porque
),
vai crescer em direção a 5 conforme
aumenta.
Passo 6
Portanto, concluímos que:
E para a segunda parte, o limite de uma constante é a própria constante, então:
Resposta
A afirmação IV é Verdadeira (V). De acordo com a equação diferencial fornecida e a condição inicial
, o limite de
quando
tende ao infinito é 5. Além disso, o limite de uma constante 1 permanece sendo 1.
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Resolva o problema de valor inicial vetorial para
por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração.
Calcule a integral definida.
Assinale V ou F para as afirmativas abaixo, justificando suas respostas:
- A função
é solução explicita da equação diferencial .
Assinale V ou F para as afirmativas abaixo, justificando suas respostas:
III) A equação diferencial é de primeira ordem e linear.
III) A equação diferencial