Assinale V ou F para as afirmativas abaixo, justificando suas respostas:
IV) Se y for solução do problema de valor inicial da equação diferencial d yd x= 2 y(1-y5) quando y(0)=1, então lim x infty y=5
lim x infty 1

Passo 1

Então, vamos lá! Você me mandou um exercício que pede para a gente dizer se certas afirmações são verdadeiras (V) ou falsas (F) e justificar. A afirmação IV fala sobre uma solução de uma equação diferencial específica e qual é o limite dessa solução quando vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e limites. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação diferencial que temos:
dydx = 2y(1 - y5)
E também temos a condição inicial . Essa é uma equação diferencial do tipo logística, que modela o crescimento de uma população com um limite máximo de capacidade, no caso, 5.

Passo 3

Agora, vamos entender o que essa equação está nos dizendo. A taxa de variação de em relação a depende de e de um termo que limita a 5. Quando está bem abaixo de 5, a população cresce rapidamente, mas conforme se aproxima de 5, o crescimento desacelera e eventualmente para.

Passo 4

Para encontrar o comportamento de 2y(1 - y5) = 0 quando vai para o infinito, olhamos para os pontos de equilíbrio, ou seja, os valores de que fazem com que :
Isso acontece quando ou .

Passo 5

Como a condição inicial é , que é menor que 5, e considerando que a taxa de variação é positiva nesse intervalo (porque ), vai crescer em direção a 5 conforme aumenta.

Passo 6

Portanto, concluímos que:
limx infty y = 5
E para a segunda parte, o limite de uma constante é a própria constante, então:
limx infty 1 = 1

Resposta

A afirmação IV é Verdadeira (V). De acordo com a equação diferencial fornecida e a condição inicial , o limite de quando tende ao infinito é 5. Além disso, o limite de uma constante 1 permanece sendo 1.

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