Calcule a integral definida. integrallang<= e^-t, e^t, 3 t^2rang<= d t

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida da função vetorial integral lang<= e^-t, e^t, 3 t^2 rang<= dt. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e de como integrar cada componente de um vetor separadamente. Para resolver isso, vamos integrar cada parte do vetor uma por uma.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a componente e^-t. A integral de e^-t em relação a t é:
integral e^-t dt = -e^-t + C
Onde C é a constante de integração. Aqui, estamos aplicando a regra básica das integrais para funções exponenciais.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente, que é e^t. A integral de e^t em relação a t é bem direta:
integral e^t dt = e^t + C
Mais uma vez, aplicamos a regra das integrais para funções exponenciais, onde integrar e^t simplesmente retorna e^t mais a constante de integração.

Passo 4

Por último, vamos integrar a terceira componente, 3 t^2. A integral de 3 t^2 em relação a t é:
integral 3 t^2 dt = t^3 + C
Aqui, usamos a regra de potência para integrais, onde incrementamos o expoente em 1 e dividimos pelo novo expoente.

Resposta

Juntando todas as integrais que calculamos, a integral definida da função vetorial é:
lang<= -e^-t, e^t, t^3 rang<= + C
Onde C representa o vetor constante de integração.

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