Resolva o problema de valor inicial vetorial para y(t) por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração. y''(t) i + e^t j, y(0)=2 i, y'(0)=j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial vetorial para y(t). A questão nos dá uma equação diferencial de segunda ordem e condições iniciais. O conteúdo principal aqui é equações diferenciais vetoriais e vamos precisar integrar duas vezes para encontrar a função vetor y(t).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial que temos:
Isso significa que a segunda derivada de y(t) em relação ao tempo t é um vetor com componente constante na direção i e uma componente que cresce exponencialmente na direção j.

Passo 3

Vamos integrar a segunda derivada para encontrar a primeira derivada . A integração de nos dá:
Aqui, é a constante de integração, que é um vetor.

Passo 4

Agora, aplicamos a condição inicial para a primeira derivada: . Substituindo na expressão de :
Isso nos mostra que .

Passo 5

Com , nossa expressão para fica:
Agora, vamos integrar novamente para encontrar y(t):
Onde é outra constante de integração.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial para y(t): . Substituindo na expressão de y(t):
Isso nos leva a:

Resposta

Finalmente, substituindo na expressão de y(t), temos:
Portanto, a solução do problema é:

Exercícios relacionados