Resolva o problema de valor inicial vetorial para por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial vetorial para . A questão nos dá uma equação diferencial de segunda ordem e condições iniciais. O conteúdo principal aqui é equações diferenciais vetoriais e vamos precisar integrar duas vezes para encontrar a função vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial que temos:
Isso significa que a segunda derivada de em relação ao tempo é um vetor com componente constante na direção e uma componente que cresce exponencialmente na direção .

Passo 3

Vamos integrar a segunda derivada para encontrar a primeira derivada . A integração de nos dá:
Aqui, é a constante de integração, que é um vetor.

Passo 4

Agora, aplicamos a condição inicial para a primeira derivada: . Substituindo na expressão de :
Isso nos mostra que .

Passo 5

Com , nossa expressão para fica:
Agora, vamos integrar novamente para encontrar :
Onde é outra constante de integração.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial para : . Substituindo na expressão de :
Isso nos leva a:

Resposta

Finalmente, substituindo na expressão de , temos:
Portanto, a solução do problema é:

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Calcule a integral definida.
Seja . Determine (b)
Assinale V ou F para as afirmativas abaixo, justificando suas respostas:
IV) y for solução do problema de valor inicial da equação diferencial quando , então
Assinale V ou F para as afirmativas abaixo, justificando suas respostas:
  1. A função é solução explicita da equação diferencial .