Resolva o problema de valor inicial vetorial para
por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial vetorial para
. A questão nos dá uma equação diferencial de segunda ordem e condições iniciais. O conteúdo principal aqui é equações diferenciais vetoriais e vamos precisar integrar duas vezes para encontrar a função vetor
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação diferencial que temos:
Isso significa que a segunda derivada de
em relação ao tempo
é um vetor com componente constante na direção
e uma componente que cresce exponencialmente na direção
.
Passo 3
Vamos integrar a segunda derivada para encontrar a primeira derivada
. A integração de
nos dá:
Aqui,
é a constante de integração, que é um vetor.
Passo 4
Agora, aplicamos a condição inicial para a primeira derivada:
. Substituindo
na expressão de
:
Isso nos mostra que
.
Passo 5
Com
, nossa expressão para
fica:
Agora, vamos integrar novamente para encontrar
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Aplicamos a condição inicial para
:
. Substituindo
na expressão de
:
Isso nos leva a:
Resposta
Finalmente, substituindo
na expressão de
, temos:
Portanto, a solução do problema é:
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Calcule a integral definida.
Seja
. Determine (b)
Assinale V ou F para as afirmativas abaixo, justificando suas respostas:
IV) y for solução do problema de valor inicial da equação diferencial
quando
, então
IV)
Assinale V ou F para as afirmativas abaixo, justificando suas respostas:
- A função
é solução explicita da equação diferencial .