Assinale V ou F:
© [10 pontos] Se sum an, sum bn são divergentes, ainda assim sum an bn pode ser convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se, mesmo quando as séries sum an e sum bn são divergentes (ou seja, não somam para um valor finito), o produto das séries sum an bn pode ser convergente (somar para um valor finito). A gente vai usar conceitos de convergência de séries e propriedades de termos de séries para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser divergente ou convergente. Uma série sum an converge se a soma dos seus termos tende a um número finito quando o número de termos aumenta indefinidamente. Se não tende a nenhum valor finito, dizemos que diverge.

Passo 3

Agora, o que acontece quando multiplicamos os termos de duas séries divergentes? A pergunta é se essa nova série formada pelos produtos an bn pode, de alguma forma, somar para um valor finito mesmo que as séries originais não somem.

Passo 4

Vamos pensar em um exemplo prático. Considere as séries:
  • sum an = sum 1n: Essa é a famosa série harmônica, que é divergente.
  • sum bn = sum 1n: Idem, também divergente.
Agora, vamos multiplicar os termos correspondentes:
sum an bn = sum (1n times 1n) = sum 1n^2

Passo 5

A série sum 1n^2 é uma série p, onde p = 2. Sabemos que uma série p converge se p > 1. Então, nesse caso, sum 1n^2 converge.

Passo 6

Esse exemplo mostra que mesmo que as séries sum an e sum bn sejam divergentes, o produto das suas séries sum an bn pode sim ser convergente.

Resposta

Verdadeiro (V). Mesmo que as séries sum an e sum bn sejam divergentes, o produto sum an bn pode ser convergente, como no exemplo da série harmônica onde sum 1n times 1n = sum 1n^2 converge.

Exercícios relacionados

Assinale V ou F:
(b) [10 pontos] Se an 0, então sum an é convergente;
Calcule ointC y^2 dx+3 x y dy, onde C é o limite da região semianular D contida no semiplano superior entre os círculos x^2+y^2=2 e x^2+y^2=6
Dado que lim x 2 f(x)=4, lim x 2 g(x)=-2 e lim x 2 h(x)=0, encontre, se existir, cada um dos limites abaixo. Caso não exista, explique o porquê.
(a) lim x 2[5 f(x)+g(x)]
Assinale V ou F:
(d) [10 pontos ] Se sum an é divergente, então sum an^2 também é divergente.