Assinale V ou F:
© [10 pontos] Se
são divergentes, ainda assim
pode ser convergente.
© [10 pontos] Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se, mesmo quando as séries
e
são divergentes (ou seja, não somam para um valor finito), o produto das séries
pode ser convergente (somar para um valor finito). A gente vai usar conceitos de convergência de séries e propriedades de termos de séries para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser divergente ou convergente. Uma série
converge se a soma dos seus termos tende a um número finito quando o número de termos aumenta indefinidamente. Se não tende a nenhum valor finito, dizemos que diverge.
Passo 3
Agora, o que acontece quando multiplicamos os termos de duas séries divergentes? A pergunta é se essa nova série formada pelos produtos
pode, de alguma forma, somar para um valor finito mesmo que as séries originais não somem.
Passo 4
Vamos pensar em um exemplo prático. Considere as séries:
-
: Essa é a famosa série harmônica, que é divergente. -
: Idem, também divergente.
Agora, vamos multiplicar os termos correspondentes:
Passo 5
A série
é uma série p, onde
. Sabemos que uma série p converge se
. Então, nesse caso,
converge.
Passo 6
Esse exemplo mostra que mesmo que as séries
e
sejam divergentes, o produto das suas séries
pode sim ser convergente.
Resposta
Verdadeiro (V). Mesmo que as séries
e
sejam divergentes, o produto
pode ser convergente, como no exemplo da série harmônica onde
converge.
Exercícios relacionados
Assinale V ou F:
(b) [10 pontos] Se , então
é convergente;
(b) [10 pontos] Se
Calcule
, onde
é o limite da região semianular
contida no semiplano superior entre os círculos
e
Dado que
e
, encontre, se existir, cada um dos limites abaixo. Caso não exista, explique o porquê.
(a)
(a)
Assinale V ou F:
(d) pontos
Se
é divergente, então
também é divergente.
(d)