Calcule ointC y^2 dx+3 x y dy, onde C é o limite da região semianular D contida no semiplano superior entre os círculos x^2+y^2=2 e x^2+y^2=6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é o contorno da região que está na metade de cima, entre os círculos e . Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que:
ointC M , dx + N , dy = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dx , dy
Aqui, e . Então, precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Npartial x = partialpartial x (3xy) = 3y
partial Mpartial y = partialpartial y (y^2) = 2y
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Npartial x - partial Mpartial y = 3y - 2y = y

Passo 4

Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região x = r cos theta . Como y = r sin theta está entre dois círculos e na metade de cima, faz sentido usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
dx , dy = r , dr , dtheta
Os limites para serão de a (raios dos círculos), e para de a (metade de cima).

Passo 5

Substituindo na integral dupla:
integral duplaD y , dx , dy = integral0^pi integralraiz2^raiz6 (r sin theta) cdot r , dr , dtheta = integral0^pi integralraiz2^raiz6 r^2 sin theta , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro (em relação a integralraiz2^raiz6 r^2 , dr = [ r^33 ]raiz2^raiz6 = (raiz6)^33 - (raiz2)^33 = 6raiz63 - 2raiz23 = 2raiz6 - 2raiz23 ):

Passo 7

Agora, resolvemos a integral externa (em relação a integral0^pi sin theta , dtheta = [ -cos theta ]0^pi = -cos pi + cos 0 = -(-1) + 1 = 2 ):

Passo 8

Multiplicando os resultados das integrais:
2 times (2raiz6 - 2raiz23) = 4raiz6 - 4raiz23

Resposta

A integral vale .

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