Calcule
, onde
é o limite da região semianular
contida no semiplano superior entre os círculos
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é o contorno da região
que está na metade de cima, entre os círculos
e
. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que:
Aqui,
e
. Então, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 4
Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região
. Como
está entre dois círculos e na metade de cima, faz sentido usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
Os limites para
serão de
a
(raios dos círculos), e para
de
a
(metade de cima).
Passo 5
Substituindo na integral dupla:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro (em relação a
):
Passo 7
Agora, resolvemos a integral externa (em relação a
):
Passo 8
Multiplicando os resultados das integrais:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Mostre, usando a definição formal (ou seja, via
e
) que
nos casos seguintes.
(d)
(d)
Em cada item, faça o que se pede
(b) [10 pontos] A série é convergente? Justifique sua resposta.
(b) [10 pontos] A série
Assinale V ou F:
(b) [10 pontos] Se , então
é convergente;
(b) [10 pontos] Se
Assinale V ou F:
© [10 pontos] Se são divergentes, ainda assim
pode ser convergente.
© [10 pontos] Se