Assinale V ou F:
(d)
pontos
Se
é divergente, então
também é divergente.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está falando sobre séries matemáticas, especificamente se a série
divergente implica que a série
também diverge. Vamos precisar entender um pouco sobre convergência e divergência de séries e como comparar séries para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser divergente ou convergente. Uma série
é convergente se a soma dos seus termos se aproxima de um número finito conforme adicionamos mais termos. Se não se aproxima de nenhum valor específico, dizemos que a série é divergente.
Passo 3
Agora, a questão quer saber se, quando
é divergente, a série dos quadrados dos termos
também é divergente. Para entender isso, vamos pensar em um exemplo concreto.
Passo 4
Vamos considerar a série
. Sabemos que essa série é divergente porque a soma dos termos
cresce sem limite conforme
aumenta.
Passo 5
Agora, vamos olhar para a série dos quadrados dos termos:
. Essa série é conhecida como a série p, onde
. Sabemos que se
, a série
converge.
Passo 6
Então, temos um caso onde
é divergente (
diverge), mas
é convergente (
converge). Isso mostra que a afirmação não é verdadeira para todo caso.
Resposta
Falso. Existe pelo menos uma série divergente
cuja série dos quadrados
converge.
Exercícios relacionados
Dado que
e
, encontre, se existir, cada um dos limites abaixo. Caso não exista, explique o porquê.
(a)
(a)
Assinale V ou F:
© [10 pontos] Se são divergentes, ainda assim
pode ser convergente.
© [10 pontos] Se
Use o Teorema do Confronto para calcular os limites abaixo.
(a)
(a)
Sejam
e
. Verifique as identidades.
(d) .
(d)