Assinale V ou F:
(d) [10 pontos ] Se sum an é divergente, então sum an^2 também é divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está falando sobre séries matemáticas, especificamente se a série divergente implica que a série também diverge. Vamos precisar entender um pouco sobre convergência e divergência de séries e como comparar séries para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser divergente ou convergente. Uma série é convergente se a soma dos seus termos se aproxima de um número finito conforme adicionamos mais termos. Se não se aproxima de nenhum valor específico, dizemos que a série é divergente.

Passo 3

Agora, a questão quer saber se, quando é divergente, a série dos quadrados dos termos também é divergente. Para entender isso, vamos pensar em um exemplo concreto.

Passo 4

Vamos considerar a série . Sabemos que essa série é divergente porque a soma dos termos cresce sem limite conforme aumenta.

Passo 5

Agora, vamos olhar para a série dos quadrados dos termos: . Essa série é conhecida como a série p, onde . Sabemos que se , a série converge.

Passo 6

Então, temos um caso onde é divergente ( diverge), mas é convergente ( converge). Isso mostra que a afirmação não é verdadeira para todo caso.

Resposta

Falso. Existe pelo menos uma série divergente cuja série dos quadrados converge.

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