Assinale V ou F: © [ ] A série sumn=0^infty (-1)^n 2^n+1n+1 é condicionalmente convergente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está perguntando. Queremos saber se a série é condicionalmente convergente. Para isso, vamos precisar saber sobre convergência absoluta e convergência condicional de séries.

Passo 2

Vamos começar verificando se a série é absolutamente convergente. Isso significa que vamos considerar a série dos valores absolutos dos termos:
sumn=0^infty | (-1)^n 2^n+1n+1 | = sumn=0^infty 2^n+1n+1

Passo 3

Observamos que o numerador cresce exponencialmente, enquanto o denominador cresce apenas linearmente. Isso faz com que os termos aumentem sem limite conforme aumenta.

Passo 4

Como os termos da série dos valores absolutos não tendem a zero (na verdade, tendem ao infinito), a série não é absolutamente convergente.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a série original é condicionalmente convergente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos em valor absoluto diminuem e tendem a zero, a série alternada converge.

Passo 6

No nosso caso, já vimos que os termos não tendem a zero, mas sim ao infinito. Portanto, a série não satisfaz as condições para a convergência pelo teste das séries alternadas.

Resposta

F

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