Suponha que a função definida por possua uma representação em série de potências em torno de . Em cada item, faça o que se pede. (a) pontos Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está pedindo para mostrar que a função pode ser representada por uma série de potências em torno de . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como expandir o logaritmo natural em uma série e ajustar para o formato que a questão pediu.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série de Taylor para em torno de . Sabemos que:
Essa série converge quando .

Passo 3

No nosso caso, a função é . Vamos fazer uma substituição onde . Assim, substituindo na série acima:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da soma. Observamos que . Substituindo isso na série:

Passo 5

A expressão que queremos mostrar começa a soma no . Para ajustar isso, fazemos uma mudança de índice. Vamos deixar . Quando , . Então, reescrevendo a soma:
Simplificando os expoentes:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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Suponha que a função definida por possua uma representação em série de potências em torno de . Em cada item, faça o que se pede. © pontos] Qual o valor da soma ? Justifique sua resposta.
Calcule as integrais:
(l) ;
Assinale V ou F: © [ ] A série é condicionalmente convergente.
Em cada item, faça o que se pede. (b) pontos Mostre que é solução da EDO .