Suponha que a função definida por
possua uma representação em série de potências em torno de
. Em cada item, faça o que se pede. (a)
pontos
Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está pedindo para mostrar que a função
pode ser representada por uma série de potências em torno de
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como expandir o logaritmo natural em uma série e ajustar para o formato que a questão pediu.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série de Taylor para
em torno de
. Sabemos que:
Essa série converge quando
.
Passo 3
No nosso caso, a função é
. Vamos fazer uma substituição onde
. Assim, substituindo na série acima:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da soma. Observamos que
. Substituindo isso na série:
Passo 5
A expressão que queremos mostrar começa a soma no
. Para ajustar isso, fazemos uma mudança de índice. Vamos deixar
. Quando
,
. Então, reescrevendo a soma:
Simplificando os expoentes:
Resposta
Portanto, mostramos que: