Suponha que a função definida por f(x)=ln (1+2 x) possua uma representação em série de potências em torno de x=0. Em cada item, faça o que se pede. (a) [12 pontos ] Mostre que f(x)=sumn=0^infty (-1)^n 2^n+1n+1 x^n+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está pedindo para mostrar que a função pode ser representada por uma série de potências em torno de . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como expandir o logaritmo natural em uma série e ajustar para o formato que a questão pediu.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série de Taylor para ln(1 + z) = sumn=1^infty (-1)^n+1n z^n em torno de . Sabemos que:
Essa série converge quando .

Passo 3

No nosso caso, a função é ln(1 + 2x) = sumn=1^infty (-1)^n+1n (2x)^n . Vamos fazer uma substituição onde . Assim, substituindo na série acima:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da soma. Observamos que ln(1 + 2x) = sumn=1^infty (-1)^n+1 cdot 2^nn x^n . Substituindo isso na série:

Passo 5

A expressão que queremos mostrar começa a soma no ln(1 + 2x) = summ=0^infty (-1)^(m+1)+1 cdot 2^m+1m+1 x^m+1 . Para ajustar isso, fazemos uma mudança de índice. Vamos deixar ln(1 + 2x) = summ=0^infty (-1)^m cdot 2^m+1m+1 x^m+1 . Quando , . Então, reescrevendo a soma:
Simplificando os expoentes:

Resposta

Portanto, mostramos que:
f(x) = ln(1 + 2x) = sumn=0^infty (-1)^n cdot 2^n+1n+1 x^n+1

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