Suponha que a função definida por f(x)=ln (1+2 x) possua uma representação em série de potências em torno de x=0. Em cada item, faça o que se pede. © [6 pontos] Qual o valor da soma sumn=0^infty (-1)^n 2^n+15^n+1(n+1) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função sumn=0^infty (-1)^n cdot 2^n+15^n+1 cdot (n+1) que pode ser representada por uma série de potências em torno de . No item ©, precisamos calcular o valor da soma infinita:
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da soma. Observe que sumn=0^infty (-1)^n cdot 2^n+15^n+1 cdot (n+1) = 25 sumn=0^infty (-1)^n cdot ( 25 )^nn+1 e . Assim, podemos reescrever a soma da seguinte maneira:

Passo 3

Agora, vamos focar na soma:
sumn=0^infty (-1)^n cdot ( 25 )^nn+1
Reconhecemos que isso se assemelha a uma série que pode ser relacionada ao logaritmo. Sabemos que:
sumn=0^infty (-a)^nn+1 = ln(1 + a)a
Nesse caso, sumn=0^infty (-1)^n cdot ( 25 )^nn+1 = ln(1 + 25)25 = ln(75)25 . Então, substituindo:

Passo 4

Voltando à nossa expressão original, temos:
25 cdot ln(75)25 = ln(75)
Essa simplificação ocorre porque os fatores se cancelam.

Resposta

O valor da soma é .

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