Suponha que a função definida por possua uma representação em série de potências em torno de . Em cada item, faça o que se pede. © pontos] Qual o valor da soma ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função que pode ser representada por uma série de potências em torno de . No item ©, precisamos calcular o valor da soma infinita:
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da soma. Observe que e . Assim, podemos reescrever a soma da seguinte maneira:

Passo 3

Agora, vamos focar na soma:
Reconhecemos que isso se assemelha a uma série que pode ser relacionada ao logaritmo. Sabemos que:
Nesse caso, . Então, substituindo:

Passo 4

Voltando à nossa expressão original, temos:
Essa simplificação ocorre porque os fatores se cancelam.

Resposta

O valor da soma é .

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Calcule as integrais:
(l) ;
Calcule as integrais:
§ ;
Suponha que a função definida por possua uma representação em série de potências em torno de . Em cada item, faça o que se pede. (a) pontos Mostre que .
Assinale V ou F: © [ ] A série é condicionalmente convergente.