Considere a função
dada implicitamente pela equação
onde
é constante.
Construir o gráfico da função
;
Construir o gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente construir o gráfico da função
que está definida de forma implícita pela equação
, onde
é uma constante. Isso envolve conceitos de funções implícitas e gráficos de curvas, então vamos precisar entender como isolar
em termos de
e depois plotar isso no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar isolar
na equação dada. A equação é:
Para isolar
, vamos subtrair
de ambos os lados:
Passo 3
Agora, para resolver para
, precisamos eliminar o expoente fracionário. Sabemos que
, então para desfazer o expoente
, vamos elevar ambos os lados da equação ao potencial inverso, que é
:
Passo 4
Vamos analisar o domínio dessa função, ou seja, os valores de
para os quais a função está definida. O que está dentro da raiz,
, precisa ser não negativo, porque estamos tirando uma raiz ímpar:
Isso implica que:
Então,
varia entre
e
.
Passo 5
Com
isolado e o domínio definido, vamos esboçar o gráfico. Para isso, podemos identificar alguns pontos-chave:
-
Quando
: Então, temos o ponto. -
Quando
: Então, os pontose . -
Simetria: A função é par, ou seja, simétrica em relação ao eixo
, porque depende de , que é igual para e .
Passo 6
Vamos agora plotar esses pontos e considerar a forma geral da função. A curva resultante será semelhante a um círculo, mas com bordas mais arredondadas devido aos expoentes fracionários. Ela ficará confinada dentro de um quadrado de lado
, com centros nos pontos que calculamos:
- Topo em
- Base em
Passo 7
Finalmente, para completar o gr��fico, podemos calcular alguns valores adicionais de
para
intermediários, como
, e assim por diante, para ter uma ideia mais precisa da curva. Mas, de forma geral, a curva será suave e simétrica, fechando-se ao redor da origem, formando uma espécie de “círculo” com curvas suaves.
Resposta
O gráfico da função
definida pela equação
é uma curva simétrica em relação ao eixo
, limitada entre
e
, com pontos principais em
e
. A forma resultante é semelhante a um círculo, mas com bordas mais arredondadas devido aos expoentes fracionários.
Exercícios relacionados
Em cada item, faça o que se pede. (b)
pontos
Mostre que
é solução da EDO
.
Assinale V ou F: © [ ] A série
é condicionalmente convergente.
Calcule as integrais abaixo:
Calcule as integrais abaixo: