Considere a função dada implicitamente pela equação
onde é constante.
Construir o gráfico da função ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente construir o gráfico da função que está definida de forma implícita pela equação , onde é uma constante. Isso envolve conceitos de funções implícitas e gráficos de curvas, então vamos precisar entender como isolar em termos de e depois plotar isso no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar isolar na equação dada. A equação é:
Para isolar , vamos subtrair de ambos os lados:

Passo 3

Agora, para resolver para , precisamos eliminar o expoente fracionário. Sabemos que , então para desfazer o expoente , vamos elevar ambos os lados da equação ao potencial inverso, que é :

Passo 4

Vamos analisar o domínio dessa função, ou seja, os valores de para os quais a função está definida. O que está dentro da raiz, , precisa ser não negativo, porque estamos tirando uma raiz ímpar:
Isso implica que:
Então, varia entre e .

Passo 5

Com isolado e o domínio definido, vamos esboçar o gráfico. Para isso, podemos identificar alguns pontos-chave:
  • Quando :
    Então, temos o ponto .
  • Quando :
    Então, os pontos e .
  • Simetria: A função é par, ou seja, simétrica em relação ao eixo , porque depende de , que é igual para e .

Passo 6

Vamos agora plotar esses pontos e considerar a forma geral da função. A curva resultante será semelhante a um círculo, mas com bordas mais arredondadas devido aos expoentes fracionários. Ela ficará confinada dentro de um quadrado de lado , com centros nos pontos que calculamos:
  • Topo em
  • Base em

Passo 7

Finalmente, para completar o gr��fico, podemos calcular alguns valores adicionais de para intermediários, como , e assim por diante, para ter uma ideia mais precisa da curva. Mas, de forma geral, a curva será suave e simétrica, fechando-se ao redor da origem, formando uma espécie de “círculo” com curvas suaves.

Resposta

O gráfico da função definida pela equação é uma curva simétrica em relação ao eixo , limitada entre e , com pontos principais em e . A forma resultante é semelhante a um círculo, mas com bordas mais arredondadas devido aos expoentes fracionários.

Exercícios relacionados

Em cada item, faça o que se pede. (b) pontos Mostre que é solução da EDO .
Assinale V ou F: © [ ] A série é condicionalmente convergente.
Calcule as integrais abaixo:
Calcule as integrais abaixo: