Em cada item, faça o que se pede. (b) 10 pontos ] Mostre que y(x) = sen(x) + cos(x) é solução da EDO y'' + y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que é uma solução da Equação Diferencial Ordinária (EDO) . Para isso, vamos precisar saber calcular as derivadas da função e depois substituir na EDO para verificar se a equação se satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de . A derivada de é e a derivada de é . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de , ou seja, a derivada da função . Derivando , obtemos , e derivando , obtemos . Assim:

Passo 4

Com as derivadas em mãos, vamos substituir e na EDO dada:

Passo 5

Simplificando a expressão acima:
Veja que os termos se cancelam completamente, sobrando zero.

Resposta

Portanto, é realmente uma solução da EDO .

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