Assinale V ou F em cada lacuna abaixo, conforme o seu julgamento se a afirmação é falsa ou verdadeira. Justifique brevemente sua opinião.
2. ( ) Se e também , vale que ou 1 .

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. A questão afirma que se a matriz pertence a (ou seja, é uma matriz real quadrada de ordem ) e satisfaz a relação , então o determinante de é igual a -1, 0 ou 1. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa que e como isso impacta o determinante da matriz.

Passo 2

Primeiro, a equação pode ser reescrita como , ou seja, . Isso nos sugere que a matriz satisfaz o polinômio .

Passo 3

De acordo com o teorema de Cayley-Hamilton, uma matriz satisfaz o seu polinômio característico. Então, podemos considerar os autovalores de como raízes desse polinômio, ou seja, os valores de para os quais , que são .

Passo 4

Os determinantes das matrizes são iguais ao produto de seus autovalores. Assim, se os autovalores de são 0, 1 ou -1, então o determinante de deve ser o produto de alguns desses valores. Portanto, deve ser um produto de 0, 1 e -1, o que dá ou .

Resposta

Verdadeiro (V).

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Mostre que: e também
Determine o conjunto gerador de . Além disso, noutro sentido, fixando e em , descreva em forma de conjunto o subespaço .