Assinale V ou F em cada lacuna abaixo, conforme o seu julgamento se a afirmação é falsa ou verdadeira. Justifique brevemente sua opinião.
2. ( ) Se
e também
, vale que
ou 1 .
2. ( ) Se
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. A questão afirma que se a matriz
pertence a
(ou seja, é uma matriz real quadrada de ordem
) e satisfaz a relação
, então o determinante de
é igual a -1, 0 ou 1. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa que
e como isso impacta o determinante da matriz.
Passo 2
Primeiro, a equação
pode ser reescrita como
, ou seja,
. Isso nos sugere que a matriz
satisfaz o polinômio
.
Passo 3
De acordo com o teorema de Cayley-Hamilton, uma matriz satisfaz o seu polinômio característico. Então, podemos considerar os autovalores de
como raízes desse polinômio, ou seja, os valores de
para os quais
, que são
.
Passo 4
Os determinantes das matrizes são iguais ao produto de seus autovalores. Assim, se os autovalores de
são 0, 1 ou -1, então o determinante de
deve ser o produto de alguns desses valores. Portanto,
deve ser um produto de 0, 1 e -1, o que dá
ou
.
Resposta
Verdadeiro (V).