Use uma equação matricial e ache a solução de
SUGESTÃO: Encontre primeiramente a inversa da matriz A dos coeficientes de ( triang<= ). Em seguida use que A X=B Leftrightarrow X=A^-1 B.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando matrizes. O sistema que temos é:
2x + y - z = 7 y + 2z = 4 4x + 2y = 16
Vamos usar álgebra linear, especificamente equações matriciais, para achar as soluções das incógnitas , e . Para isso, vamos precisar montar a matriz dos coeficientes, encontrar a inversa dessa matriz e então multiplicar pela matriz dos termos constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes A = 2 & 1 & -1 0 & 1 & 2 4 & 2 & 0 , B = 7 4 16 e a matriz dos termos constantes :
Aqui, cada linha de representa os coeficientes das variáveis nas equações do sistema.
Passo 3
O próximo passo é encontrar a matriz inversa de det(A) = 2 times 1 & 2 2 & 0 - 1 times 0 & 2 4 & 0 -1 times 0 & 1 4 & 2 , ou seja, det(A) = 2 times (1 times 0 - 2 times 2) - 1 times (0 times 0 - 2 times 4) -1 times (0 times 2 - 1 times 4) . Primeiro, vamos calcular o determinante de det(A) = 2 times (-4) - 1 times (-8) -1 times (-4) = -8 + 8 + 4 = 4 para garantir que a inversa existe (o determinante deve ser diferente de zero).
Calculando o determinante de :
Como , a matriz inversa existe.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a matriz inversa A^-1 = 14 -4 & 8 & 4 4 & -8 & -4 4 & -4 & 4 . A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 é um pouco longa, mas vou simplificar os passos.
Primeiro, encontraremos a matriz dos cofatores, depois a matriz adjunta e, por fim, dividiremos pela determinante.
Calculando os cofatores e montando a matriz adjunta, obtemos:
A^-1 = -1 & 2 & 1 1 & -2 & -1 1 & -1 & 1
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos X = -1 & 2 & 1 1 & -2 & -1 1 & -1 & 1 7 4 16 , podemos encontrar a solução do sistema usando x = (-1) times 7 + 2 times 4 + 1 times 16 = -7 + 8 + 16 = 17 .
Multiplicando y = 1 times 7 + (-2) times 4 + (-1) times 16 = 7 - 8 - 16 = -17 por z = 1 times 7 + (-1) times 4 + 1 times 16 = 7 - 4 + 16 = 19 :