Determine o conjunto gerador de W=[cc-2 x & z-y x+y & z]2 times 2 / x cdot y cdot z in R. Além disso, noutro sentido, fixando A=[ll1 & 0 0 & 0]2 times 2, B=[ll0 & 1 1 & 0]2 times 2 e C=[ll0 & 0 0 & 1]2 times 2 em M2(R), descreva em forma de conjunto o subespaço S=[A, B, C].

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto formado por matrizes com entradas que dependem de três variáveis reais , e . Nosso objetivo é encontrar o conjunto gerador desse espaço . Além disso, nos dão três matrizes específicas , e e pedem para descrever o subespaço gerado por elas.
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente conceitos de espaços vetoriais e conjuntos geradores.
O que precisamos: Saber como identificar um conjunto gerador de um espaço vetorial e entender como combinar matrizes para formar um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um conjunto gerador. Em Álgebra Linear, um conjunto gerador de um espaço vetorial é um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) a partir dos quais qualquer elemento do espaço pode ser construído através de combinações lineares.
No nosso caso, queremos encontrar matrizes que, combinadas linearmente, possam gerar qualquer matriz pertencente a .

Passo 3

Vamos analisar a estrutura das matrizes em W = -2x & z - y x + y & z g| x, y, z in R :
-2x & z - y x + y & z = x -2 & 0 1 & 0 + y 0 & -1 1 & 0 + z 0 & 1 0 & 1
Podemos separar as partes que dependem de cada variável:
Isso mostra que qualquer matriz em pode ser escrita como uma combinação linear dessas três matrizes.

Passo 4

Portanto, as matrizes que usamos como “base” para construir qualquer elemento de M1 = -2 & 0 1 & 0 , M2 = 0 & -1 1 & 0 , M3 = 0 & 1 0 & 1 são:
Essas três matrizes formam o conjunto gerador de , pois qualquer matriz em pode ser obtida combinando linearmente , e .

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte da questão. Temos as matrizes:
A = 1 & 0 0 & 0 , B = 0 & 1 1 & 0 , C = 0 & 0 0 & 1
Queremos descrever o subespaço , que é o conjunto de todas as combinações lineares dessas três matrizes.

Passo 6

Vamos escrever uma matriz genérica em S = alpha A + beta B + gamma C = alpha 1 & 0 0 & 0 + beta 0 & 1 1 & 0 + gamma 0 & 0 0 & 1 = alpha & beta beta & gamma :
Aqui, , e são números reais quaisquer.

Passo 7

Então, o subespaço é composto por todas as matrizes onde:
  • A entrada é qualquer número real .
  • As entradas e são iguais e representam .
  • A entrada é qualquer número real .

Resposta

O conjunto gerador de -2 & 0 1 & 0 , 0 & -1 1 & 0 , 0 & 1 0 & 1 é formado pelas matrizes
alpha & beta beta & gamma
Além disso, o subespaço é o conjunto de todas as matrizes da forma
onde .

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