Determine o conjunto gerador de . Além disso, noutro sentido, fixando e em , descreva em forma de conjunto o subespaço .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto formado por matrizes com entradas que dependem de três variáveis reais , e . Nosso objetivo é encontrar o conjunto gerador desse espaço . Além disso, nos dão três matrizes específicas , e e pedem para descrever o subespaço gerado por elas.
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente conceitos de espaços vetoriais e conjuntos geradores.
O que precisamos: Saber como identificar um conjunto gerador de um espaço vetorial e entender como combinar matrizes para formar um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um conjunto gerador. Em Álgebra Linear, um conjunto gerador de um espaço vetorial é um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) a partir dos quais qualquer elemento do espaço pode ser construído através de combinações lineares.
No nosso caso, queremos encontrar matrizes que, combinadas linearmente, possam gerar qualquer matriz pertencente a .
Passo 3
Vamos analisar a estrutura das matrizes em :
Podemos separar as partes que dependem de cada variável:
Isso mostra que qualquer matriz em pode ser escrita como uma combinação linear dessas três matrizes.
Passo 4
Portanto, as matrizes que usamos como “base” para construir qualquer elemento de são:
Essas três matrizes formam o conjunto gerador de , pois qualquer matriz em pode ser obtida combinando linearmente , e .
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte da questão. Temos as matrizes:
Queremos descrever o subespaço , que é o conjunto de todas as combinações lineares dessas três matrizes.
Passo 6
Vamos escrever uma matriz genérica em :
Aqui, , e são números reais quaisquer.
Passo 7
Então, o subespaço é composto por todas as matrizes onde:
A entrada é qualquer número real .
As entradas e são iguais e representam .
A entrada é qualquer número real .
Resposta
O conjunto gerador de é formado pelas matrizes
Além disso, o subespaço é o conjunto de todas as matrizes da forma