Assinale V ou F em cada lacuna abaixo, conforme o seu julgamento se a afirmação é falsa ou verdadeira. Justifique brevemente sua opinião.
1.( ) A função
1.( ) A função
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: temos uma afirmação sobre a função traço definida para matrizes 2x2 com números reais. A função traço, denotada por
, mapeia uma matriz
para a soma dos elementos da diagonal principal, ou seja,
. A questão pede para verificar se essa função não é injetiva. Vamos usar conceitos de funções injetivas e propriedades da função traço para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser injetiva. Uma função
é injetiva se, sempre que
, então
. Em outras palavras, cada elemento em
é imagem de no máximo um elemento em
. Se existirem dois elementos diferentes em
que mapeiam para o mesmo elemento em
, a função não é injetiva.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função traço
. Para essa função ser injetiva, cada matriz 2x2 deveria ter um traço único, ou seja, não poderia haver duas matrizes diferentes com o mesmo traço.
Passo 4
Vamos verificar se isso acontece. Considere as seguintes duas matrizes:
Calculando o traço de cada uma:
Aqui, temos duas matrizes diferentes
e
que produzem o mesmo valor de traço
. Isso mostra que a função traço não é injetiva, pois existem diferentes matrizes que mapeiam para o mesmo número real.
Resposta
Falso. A função traço
não é injetiva, pois matrizes diferentes podem ter o mesmo traço.