Assinale V ou F em cada lacuna abaixo, conforme o seu julgamento se a afirmação é falsa ou verdadeira. Justifique brevemente sua opinião.
1.( ) A função
tr: M2(R) & R X & <=adsto tr(X)=x11+x22 não é injetiva ãé

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos uma afirmação sobre a função traço definida para matrizes 2x2 com números reais. A função traço, denotada por , mapeia uma matriz para a soma dos elementos da diagonal principal, ou seja, . A questão pede para verificar se essa função não é injetiva. Vamos usar conceitos de funções injetivas e propriedades da função traço para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser injetiva. Uma função é injetiva se, sempre que , então . Em outras palavras, cada elemento em é imagem de no máximo um elemento em . Se existirem dois elementos diferentes em que mapeiam para o mesmo elemento em , a função não é injetiva.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função traço . Para essa função ser injetiva, cada matriz 2x2 deveria ter um traço único, ou seja, não poderia haver duas matrizes diferentes com o mesmo traço.

Passo 4

Vamos verificar se isso acontece. Considere as seguintes duas matrizes:
A = 1 & 0 0 & 2 , B = 3 & 0 0 & 0
Calculando o traço de cada uma:
tr(A) = 1 + 2 = 3
tr(B) = 3 + 0 = 3
Aqui, temos duas matrizes diferentes e que produzem o mesmo valor de traço . Isso mostra que a função traço não é injetiva, pois existem diferentes matrizes que mapeiam para o mesmo número real.

Resposta

Falso. A função traço não é injetiva, pois matrizes diferentes podem ter o mesmo traço.

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