Dados L=(0, x, y) / x, y in R e J=(0, z, z) / z in R subconjuntos de R^3, verifique que vale a relação dim(L+J)=dim(L)+dim(J)-dim(L cap J).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe está falando sobre dimensões de subespaços em . O que precisamos fazer é verificar se a relação é verdadeira para os subconjuntos e que foram definidos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são dimensão de subespaço, soma de subespaços e a interseção deles.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a dimensão de . O conjunto é definido como . Isso significa que consiste em todos os vetores em onde a primeira coordenada é 0. Podemos ver que é um plano que passa pela origem com base nas variáveis e .
Para encontrar a dimensão de , observamos que existem duas variáveis livres ( e ), então .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a dimensão de . O conjunto é definido como . Isso significa que consiste em todos os vetores em onde a primeira coordenada é 0 e a segunda e terceira coordenadas são iguais.
Aqui, temos apenas uma variável livre ( ), então é uma linha no espaço, e sua dimensão é .

Passo 4

Agora, vamos determinar a interseção de e , ou seja, . Isso significa encontrar todos os vetores que estão tanto em quanto em .
Um vetor em tem a forma e um vetor em tem a forma . Para que um vetor esteja em ambos, precisamos que e . Portanto, , que na verdade é igual a .
Então, a dimensão da interseção é .

Passo 5

Agora, vamos calcular a soma dos subespaços . A soma consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de .
Tomemos e . A soma desses vetores é .
Podemos reescrever isso como , onde e . Como e podem ser quaisquer números reais, e também podem ser quaisquer números reais. Portanto, é o próprio , já que todo vetor de já pode ser obtido dessa soma.
Ent��o, .

Passo 6

Agora, vamos verificar a relação proposta:
dim(L + J) = dim(L) + dim(J) - dim(L cap J)
Substituindo os valores que encontramos:
2 = 2 + 1 - 1
Simplificando:
2 = 2
Isso confirma que a relação é verdadeira para os subespaços e .

Resposta

A relação é válida, já que .

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