Dados
subconjuntos de
, verifique que vale a relação
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe está falando sobre dimensões de subespaços em
. O que precisamos fazer é verificar se a relação
é verdadeira para os subconjuntos
e
que foram definidos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são dimensão de subespaço, soma de subespaços e a interseção deles.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a dimensão de
. O conjunto
é definido como
. Isso significa que
consiste em todos os vetores em
onde a primeira coordenada é 0. Podemos ver que
é um plano que passa pela origem com base nas variáveis
e
.
Para encontrar a dimensão de
, observamos que existem duas variáveis livres (
e
), então
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a dimensão de
. O conjunto
é definido como
. Isso significa que
consiste em todos os vetores em
onde a primeira coordenada é 0 e a segunda e terceira coordenadas são iguais.
Aqui, temos apenas uma variável livre (
), então
é uma linha no espaço, e sua dimensão é
.
Passo 4
Agora, vamos determinar a interseção de
e
, ou seja,
. Isso significa encontrar todos os vetores que estão tanto em
quanto em
.
Um vetor em
tem a forma
e um vetor em
tem a forma
. Para que um vetor esteja em ambos, precisamos que
e
. Portanto,
, que na verdade é igual a
.
Então, a dimensão da interseção é
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a soma dos subespaços
. A soma
consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
.
Tomemos
e
. A soma desses vetores é
.
Podemos reescrever isso como
, onde
e
. Como
e
podem ser quaisquer números reais,
e
também podem ser quaisquer números reais. Portanto,
é o próprio
, já que todo vetor de
já pode ser obtido dessa soma.
Ent��o,
.
Passo 6
Agora, vamos verificar a relação proposta:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Isso confirma que a relação é verdadeira para os subespaços
e
.
Resposta
A relação
é válida, já que
.
Exercícios relacionados
Determine o conjunto gerador de
. Além disso, noutro sentido, fixando
e
em
, descreva em forma de conjunto o subespaço
.
Mostre que:
e também
Calcule o determinante: da matriz
, utilizando a regra de Sarrus,
Assinale V ou F em cada lacuna abaixo, conforme o seu julgamento se a afirmação é falsa ou verdadeira. Justifique brevemente sua opinião.
1.( ) A função
1.( ) A função