Mostre que: W=(0, w, w, w) / w in R e H=(x, 0,0, x) / x in R são subespaços de R^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que os conjuntos e são subespaços de . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar verificar se esses conjuntos satisfazem os três critérios de um subespaço: conter o vetor nulo, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o conjunto contém o vetor nulo. O vetor nulo em é .

Passo 3

Vamos ver se pertence a . No conjunto , temos vetores da forma . Se , então o vetor é . Então, o vetor nulo está em .

Passo 4

Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer de , a soma deles também deve estar em .

Passo 5

Sejam e em . A soma . Esse vetor também tem a forma , onde , que é um número real. Portanto, está em .

Passo 6

Por último, vamos verificar se é fechado sob multiplicação escalar. Isso significa que se pegarmos um vetor em e multiplicarmos por um escalar qualquer, o resultado também deve estar em .

Passo 7

Seja em e um escalar real. Então, . Esse vetor também tem a forma , onde , que é um número real. Portanto, está em .

Passo 8

Agora, vamos seguir os mesmos passos para o conjunto .

Passo 9

Primeiro, verificamos se contém o vetor nulo . No conjunto , temos vetores da forma . Se , então o vetor é . Então, o vetor nulo está em .

Passo 10

Vamos ver se é fechado sob adição. Sejam e em . A soma . Esse vetor também tem a forma , onde , que é um número real. Portanto, está em .

Passo 11

Por último, verificamos se é fechado sob multiplicação escalar. Seja em e um escalar real. Então, . Esse vetor também tem a forma , onde , que é um número real. Portanto, está em .

Resposta

Concluímos que tanto quanto satisfazem todas as condições para serem subespaços de .

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