Mostre que:
e
são subespaços de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que os conjuntos
e
são subespaços de
. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar verificar se esses conjuntos satisfazem os três critérios de um subespaço: conter o vetor nulo, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o conjunto
contém o vetor nulo. O vetor nulo em
é
.
Passo 3
Vamos ver se
pertence a
. No conjunto
, temos vetores da forma
. Se
, então o vetor é
. Então, o vetor nulo está em
.
Passo 4
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer de
, a soma deles também deve estar em
.
Passo 5
Sejam
e
em
. A soma
. Esse vetor também tem a forma
, onde
, que é um número real. Portanto,
está em
.
Passo 6
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação escalar. Isso significa que se pegarmos um vetor em
e multiplicarmos por um escalar qualquer, o resultado também deve estar em
.
Passo 7
Seja
em
e
um escalar real. Então,
. Esse vetor também tem a forma
, onde
, que é um número real. Portanto,
está em
.
Passo 8
Agora, vamos seguir os mesmos passos para o conjunto
.
Passo 9
Primeiro, verificamos se
contém o vetor nulo
. No conjunto
, temos vetores da forma
. Se
, então o vetor é
. Então, o vetor nulo está em
.
Passo 10
Vamos ver se
é fechado sob adição. Sejam
e
em
. A soma
. Esse vetor também tem a forma
, onde
, que é um número real. Portanto,
está em
.
Passo 11
Por último, verificamos se
é fechado sob multiplicação escalar. Seja
em
e
um escalar real. Então,
. Esse vetor também tem a forma
, onde
, que é um número real. Portanto,
está em
.
Resposta
Concluímos que tanto
quanto
satisfazem todas as condições para serem subespaços de
.