Dados subconjuntos de , mostre que e são subespaços de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que os conjuntos e são subespaços do espaço tridimensional . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde a gente aprende sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se esses conjuntos atendem aos critérios para serem subespaços: conter o vetor zero, ser fechados em relação à adição e à multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o conjunto contém o vetor zero. O vetor zero em é . Observando a definição de , se colocarmos e , temos que está em . Então, contém o vetor zero.

Passo 3

Agora, precisamos ver se é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em . Seja e em . A soma é , que também está em , já que e são reais. Então, é fechado sob adição.

Passo 4

Vamos verificar agora se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos qualquer vetor em e multiplicarmos por um escalar , o resultado também deve estar em . Seja em e um escalar real. A multiplicação por , que também está em porque e são reais. Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para o conjunto . Primeiro, verificamos se contém o vetor zero. Se colocarmos na definição de , obtemos , que está em . Então, contém o vetor zero.

Passo 6

Em seguida, verificamos se é fechado sob adição. Seja e em . A soma é , que também está em porque é real. Portanto, é fechado sob adição.

Passo 7

Por fim, verificamos se é fechado sob multiplicação por escalar. Seja em e um escalar real. A multiplicação por , que também está em porque é real. Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Portanto, ambos os conjuntos e são subespaços de , pois satisfazem todas as condições necessárias: contêm o vetor zero, são fechados sob adição e são fechados sob multiplicação por escalar.

Exercícios relacionados

Mostre que: e são subespaços de .
Assinale V ou F em cada lacuna abaixo, conforme o seu julgamento se a afirmação é falsa ou verdadeira. Justifique brevemente sua opinião.
1.( ) A função
ãé
Mostre que: se é um espaço vetorial e e são subespaços de , então vale que:
Dados subconjuntos de , determine os subespaços e .