Dados
subconjuntos de
, mostre que
e
são subespaços de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que os conjuntos
e
são subespaços do espaço tridimensional
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde a gente aprende sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se esses conjuntos atendem aos critérios para serem subespaços: conter o vetor zero, ser fechados em relação à adição e à multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o conjunto
contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. Observando a definição de
, se colocarmos
e
, temos
que está em
. Então,
contém o vetor zero.
Passo 3
Agora, precisamos ver se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
. Seja
e
em
. A soma é
, que também está em
, já que
e
são reais. Então,
é fechado sob adição.
Passo 4
Vamos verificar agora se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos qualquer vetor em
e multiplicarmos por um escalar
, o resultado também deve estar em
. Seja
em
e
um escalar real. A multiplicação por
dá
, que também está em
porque
e
são reais. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para o conjunto
. Primeiro, verificamos se
contém o vetor zero. Se colocarmos
na definição de
, obtemos
, que está em
. Então,
contém o vetor zero.
Passo 6
Em seguida, verificamos se
é fechado sob adição. Seja
e
em
. A soma é
, que também está em
porque
é real. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 7
Por fim, verificamos se
é fechado sob multiplicação por escalar. Seja
em
e
um escalar real. A multiplicação por
dá
, que também está em
porque
é real. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Portanto, ambos os conjuntos
e
são subespaços de
, pois satisfazem todas as condições necessárias: contêm o vetor zero, são fechados sob adição e são fechados sob multiplicação por escalar.
Exercícios relacionados
Mostre que:
e
são subespaços de
.
Assinale V ou F em cada lacuna abaixo, conforme o seu julgamento se a afirmação é falsa ou verdadeira. Justifique brevemente sua opinião.
1.( ) A função
1.( ) A função
Mostre que: se
é um espaço vetorial e
e
são subespaços de
, então vale que:
Dados
subconjuntos de
, determine os subespaços
e
.