Use o Teorema do Confronto para calcular os limites abaixo.
(a) lim x 0 x sen(5x)x+1

Passo 1

Vamos olhar o enunciado: precisamos calcular o limite quando se aproxima de 0 para a expressão . Vamos usar o Teorema do Confronto, que é uma ferramenta útil para encontrar limites envolvendo funções que ficam presas entre duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parte . Sabemos que o seno de qualquer número sempre está entre -1 e 1. Então, temos:

Passo 3

Agora, multiplicamos todos os lados dessa desigualdade por -x <= x cdot sen(5x) <= x . Como está se aproximando de 0, e supondo que seja positivo próximo de 0, a desigualdade continua:

Passo 4

Vamos dividir toda a desigualdade por -xx + 1 <= x cdot sen(5x)x + 1 <= xx + 1 . Como está próximo de 0, é positivo, então a desigualdade permanece:

Passo 5

Agora, vamos calcular os limites das duas extremidades quando limx to 0 -xx + 1 = 01 = 0 tende a 0:
limx to 0 xx + 1 = 01 = 0

Passo 6

Pelo Teorema do Confronto, se uma função está sempre entre duas funções que têm o mesmo limite, então o limite da função no meio também é esse mesmo valor. Assim, já que:
E ambos os limites das extremidades são 0, então:

Resposta

O limite é igual a 0.

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