Sejam
e
. Verifique as identidades.
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a identidade
é verdadeira, onde
e
. O assunto aqui é cálculo vetorial, especialmente o cálculo do gradiente de uma função escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o gradiente em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função escalar
é dado por:
No nosso caso, a função escalar é
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Primeiro, derivada em relação a
:
De maneira similar, as derivadas em relação a
e
serão:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do gradiente:
Resposta
Pronto! A gente mostrou que
, então a identidade está correta.
Exercícios relacionados
Use o Teorema do Confronto para calcular os limites abaixo.
(a)
(a)
Assinale V ou F:
(d) pontos
Se
é divergente, então
também é divergente.
(d)
Assuma que
e faça o que se pede.
(b) Calcule , quando
é uma curva fechada, orientada positivamente e que contem a origem internamente.
(b) Calcule
Seja
(b) Existe ? Justifique sua resposta.
(b) Existe