Sejam r = x i + y j + z k e r = ||r||. Verifique as identidades.
(d) nabla r = r / r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a identidade é verdadeira, onde e . O assunto aqui é cálculo vetorial, especialmente o cálculo do gradiente de uma função escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o gradiente em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função escalar é dado por:
No nosso caso, a função escalar é .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .
Primeiro, derivada em relação a :
De maneira similar, as derivadas em relação a e serão:

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na expressão do gradiente:

Resposta

Pronto! A gente mostrou que , então a identidade está correta.

Exercícios relacionados

Use o Teorema do Confronto para calcular os limites abaixo.
(a) lim x 0 x sen(5x)x+1
Assinale V ou F:
(d) [10 pontos ] Se sum an é divergente, então sum an^2 também é divergente.
Assuma que F=nabla(x^2 y^3 z^4) e faça o que se pede.
(b) Calcule integralC F d r, quando C é uma curva fechada, orientada positivamente e que contem a origem internamente.
Seja f(x)= 3-x, & se x<2 x2+1, & se x>2
(b) Existe lim x 2 f(x) ? Justifique sua resposta.