Sejam
e
. Verifique as identidades.
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a identidade
é verdadeira, onde
e
. O assunto aqui é cálculo vetorial, especialmente o cálculo do gradiente de uma função escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o gradiente em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função escalar
é dado por:
No nosso caso, a função escalar é
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Primeiro, derivada em relação a
:
De maneira similar, as derivadas em relação a
e
serão:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do gradiente:
Resposta
Pronto! A gente mostrou que
, então a identidade está correta.