Assinale V ou F: A expansão em série de Taylor de f(x)=x^3 sen(2 x), em torno de a=0, é sumn=0^infty (-1)^n 2^2 n+4 x^2 n+4(2 n+1)!;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se a expansão em série de Taylor da função , em torno de , é igual à série . Basicamente, precisamos revisar a série de Taylor da função dada e comparar com a apresentada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para sin(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)! . A série de Taylor de sin(2x) = sumn=0^infty (-1)^n (2x)^2n+1(2n+1)! = sumn=0^infty (-1)^n 2^2n+1 x^2n+1(2n+1)! em torno de 0 é:
No nosso caso, temos , então substituímos por :

Passo 3

Agora, multiplicamos essa série por x^3 sin(2x) = x^3 sumn=0^infty (-1)^n 2^2n+1 x^2n+1(2n+1)! = sumn=0^infty (-1)^n 2^2n+1 x^2n+4(2n+1)! para obter a série de :
Comparando com a série apresentada no enunciado, que é , vemos que o expoente do 2 está diferente. Na nossa série correta, temos e no enunciado está . Isso significa que a série apresentada no enunciado está errada.

Resposta

F (Falso)

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