Assinale V ou F: A série de potências converge para ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dizer se a série de potências converge quando . A matéria que estamos lidando aqui é sobre séries de potências e critérios de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar a convergência de séries, especialmente em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na série para simplificar:
Agora, a série ficou , que é uma série alternada.

Passo 3

Para verificar a convergência de uma série alternada, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos forem decrescentes e tiverem limite zero quando tende ao infinito, então a série alternada converge.

Passo 4

Vamos verificar as condições:
  1. é decrescente? Sim, porque conforme aumenta, diminui.
  2. ? Sim, o limite é zero.

Passo 5

Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série converge.

Resposta

Verdadeiro (V).

Exercícios relacionados

Encontre o(s) ponto(s) critico(s) da função, indique se esta dentro de e classifique esse(s) ponto(s). (Dica: Use o critério das segundas derivadas).
Dada a função , definida em região triangular fechada com vértices e . (Dica: a função linear que passa pelos pontos e é e, a função linear que passa pelos pontos e é
Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. , onde .
Assinale V ou F: Se é convergente e , então é convergente para todo ;
Assinale V ou F: A expansão em série de Taylor de , em torno de , é ;