Assinale V ou F: A série de potências
converge para
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dizer se a série de potências
converge quando
. A matéria que estamos lidando aqui é sobre séries de potências e critérios de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar a convergência de séries, especialmente em pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na série para simplificar:
Agora, a série ficou
, que é uma série alternada.
Passo 3
Para verificar a convergência de uma série alternada, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos
forem decrescentes e tiverem limite zero quando
tende ao infinito, então a série alternada
converge.
Passo 4
Vamos verificar as condições:
-
é decrescente? Sim, porque conforme aumenta, diminui. -
? Sim, o limite é zero.
Passo 5
Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série
converge.
Resposta
Verdadeiro (V).