Assinale V ou F: A série de potências sumn=1^infty (-1)^n3^n n x^n converge para x=3;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dizer se a série de potências converge quando . A matéria que estamos lidando aqui é sobre séries de potências e critérios de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar a convergência de séries, especialmente em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir sumn=1^infty (-1)^n3^n n cdot 3^n = sumn=1^infty (-1)^nn na série para simplificar:
Agora, a série ficou , que é uma série alternada.

Passo 3

Para verificar a convergência de uma série alternada, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos forem decrescentes e tiverem limite zero quando tende ao infinito, então a série alternada converge.

Passo 4

Vamos verificar as condições:
  1. é decrescente? Sim, porque conforme aumenta, diminui.
  2. ? Sim, o limite é zero.

Passo 5

Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série converge.

Resposta

Verdadeiro (V).

Exercícios relacionados