Assinale V ou F: Se sumn=0^infty an é convergente e lim n infty raiz[n]|an|=0, então sumn=0^infty an x^n é convergente para todo x in R;

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas séries:
  1. A série que é convergente.
  2. O limite .
Queremos saber se, sob essas condições, a série de potências converge para todo . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries de potências e o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, lembremos que para uma série de potências da forma 1R = limn infty raiz[n]|an| , o raio de convergência 1R = 0 implies R = infty pode ser encontrado usando o critério da raiz:
No nosso caso, sabemos que . Então:

Passo 3

Um raio de convergência significa que a série de potências converge para todos os valores de reais. Ou seja, não há restrição para , e a série é convergente para qualquer .

Resposta

Verdadeiro (V).

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