Assinale V ou F: Se
é convergente e
, então
é convergente para todo
;
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas séries:
- A série
que é convergente. - O limite
.
Queremos saber se, sob essas condições, a série de potências
converge para todo
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries de potências e o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, lembremos que para uma série de potências da forma
, o raio de convergência
pode ser encontrado usando o critério da raiz:
No nosso caso, sabemos que
. Então:
Passo 3
Um raio de convergência
significa que a série de potências converge para todos os valores de
reais. Ou seja, não há restrição para
, e a série
é convergente para qualquer
.
Resposta
Verdadeiro (V).