Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Se sumn=1^+infty an converge e an>0, forall n in N, então sumn=1^+infty raizan converge.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma afirmação sobre séries infinitas. O enunciado nos diz que se a série sumn=1^+infty an converge e todos os termos an são positivos, então a série das raízes sumn=1^+infty raizan também converge. Vamos analisar se isso é verdadeiro ou falso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma série convergir. Uma série sum an converge se a soma dos seus termos chega a um número finito quando somamos infinitamente muitos termos. Além disso, todos os termos an são positivos, o que facilita algumas análises.

Passo 3

Agora, vamos verificar se, ao ter uma série convergente, a série das raízes desses termos também converge. Para isso, podemos usar um exemplo específico.

Passo 4

Vamos considerar a série sumn=1^+infty an onde an = 1n^2. Sabemos que essa série converge porque é uma série p com p = 2 > 1.

Passo 5

Agora, vamos calcular raizan. Temos:
raizan = raiz1n^2 = 1n
Então, a série das raízes fica:
sumn=1^+infty 1n

Passo 6

A série sumn=1^+infty 1n é conhecida como série harmônica, e sabemos que ela não converge; ela diverge para o infinito.

Passo 7

Portanto, temos um caso em que a série original sumn=1^+infty an converge, mas a série das raízes sumn=1^+infty raizan não converge.

Resposta

F

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