Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Se
converge e
, então
converge.
( ) Se
Passo 1
Vamos lá! Temos uma afirmação sobre séries infinitas. O enunciado nos diz que se a série
converge e todos os termos
são positivos, então a série das raízes
também converge. Vamos analisar se isso é verdadeiro ou falso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma série convergir. Uma série
converge se a soma dos seus termos chega a um número finito quando somamos infinitamente muitos termos. Além disso, todos os termos
são positivos, o que facilita algumas análises.
Passo 3
Agora, vamos verificar se, ao ter uma série convergente, a série das raízes desses termos também converge. Para isso, podemos usar um exemplo específico.
Passo 4
Vamos considerar a série
onde
. Sabemos que essa série converge porque é uma série p com
.
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Temos:
Então, a série das raízes fica:
Passo 6
A série
é conhecida como série harmônica, e sabemos que ela não converge; ela diverge para o infinito.
Passo 7
Portanto, temos um caso em que a série original
converge, mas a série das raízes
não converge.
Resposta
F
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Escreva as frações decimais
e
como:
(a) uma série infinita;
(a) uma série infinita;
Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados via anuladores.
f)
f)
Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados via anuladores.
i)
i)
Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados via anuladores.
j)
j)