Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados via anuladores.
f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados via anuladores. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares não homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, depois, uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea . Observando o lado direito, vemos que é . Como já é parte da solução homogênea com multiplicidade 2, precisamos multiplicar nossa tentativa de solução particular por para evitar conflitos com a solução homogênea.
Portanto, nossa suposição para é:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada :
Segunda derivada :

Passo 5

Substituímos , e na equação original e igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar os valores de e .
Após simplificar e resolver o sistema de equações resultante, encontramos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Considere a série para resolver os itens abaixo.
(a) Encontre os três primeiros termos da sequência das somas parciais.
Considere a sequência de termo geral dado por . Faça o que se pede:
(b) Mostre que é estritamente decrescente;
Escreva as frações decimais e como:
(a) uma série infinita;
Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Se converge e , então converge.