Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados via anuladores.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados via anuladores. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares não homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, depois, uma solução particular da equação não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea
. Observando o lado direito, vemos que é
. Como
já é parte da solução homogênea com multiplicidade 2, precisamos multiplicar nossa tentativa de solução particular por
para evitar conflitos com a solução homogênea.
Portanto, nossa suposição para
é:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada
:
Segunda derivada
:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação original
e igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar os valores de
e
.
Após simplificar e resolver o sistema de equações resultante, encontramos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: