Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados via anuladores.
f) y'' + 2y' + y = x^2 e^(-x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados via anuladores. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares não homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, depois, uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea . Observando o lado direito, vemos que é . Como já é parte da solução homogênea com multiplicidade 2, precisamos multiplicar nossa tentativa de solução particular por para evitar conflitos com a solução homogênea.
Portanto, nossa suposição para é:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada :
Segunda derivada :

Passo 5

Substituímos , e na equação original e igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar os valores de e .
Após simplificar e resolver o sistema de equações resultante, encontramos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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