Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados via anuladores.
j)
j)
Passo 1
Opa! Vamos resolver essa equação diferencial juntos. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação linear de ordem 4. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados via anuladores, que combina teoria de equações diferenciais e técnicas de resolução específicas. Para isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea, que é:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma
. Substituindo na equação, temos:
Como
nunca é zero, temos:
As raízes são
(com multiplicidade 3) e
.
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Para isso, usamos o método dos coeficientes indeterminados. Vamos considerar as partes não homogêneas:
e
.
Passo 5
Primeiro, para o termo
, assumimos uma solução particular da forma:
Onde
e
são coeficientes a serem determinados.
Passo 6
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Isso não é possível, então precisamos ajustar nossa suposição.
Passo 7
Como
já está presente na solução homogênea, multiplicamos por
para evitar a repetição. Assim, tentamos:
Passo 8
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Ainda não funciona, então ajustamos novamente.
Passo 9
Agora, tentamos:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Para que isso seja válido para todo
, igualamos os coeficientes:
Como
, isso indica que precisamos considerar outra parte da solução particular.
Passo 10
Para o termo
, como
também está na solução homogênea, multiplicamos por
para obter:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Isso implica que
e o termo
já foi tratado anteriormente.
Passo 11
Com isso, nossa solução particular completa é:
Passo 12
Portanto, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:
Passo 13
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes
. Substituindo
e as derivadas:
Daí,
,
,
, e
.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados via anuladores.
i)
i)
Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Se converge e
, então
converge.
( ) Se
Bucontre a transformada de Laplace das seguintes funçöes: ( 4 pontos)
Bucontre a transformada de Laplace das seguintes funçöes: ( 4 pontos)