Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados via anuladores.
j) ly^i v-y^prime prime prime=x+e^x y(0)=y^prime(0)=y^prime prime(0)=y^prime prime prime(0)=0

Passo 1

Opa! Vamos resolver essa equação diferencial juntos. O enunciado é:
y^(4) - y''' = x + e^x y(0) = y'(0) = y''(0) = y'''(0) = 0
Aqui, estamos lidando com uma equação linear de ordem 4. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados via anuladores, que combina teoria de equações diferenciais e técnicas de resolução específicas. Para isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea, que é:
y^(4) - y''' = 0
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma r^4 e^rt - r^3 e^rt = 0 implies e^rt(r^4 - r^3) = 0 . Substituindo na equação, temos:
r^4 - r^3 = 0 implies r^3(r - 1) = 0
Como nunca é zero, temos:
As raízes são (com multiplicidade 3) e .

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 + C2x + C3x^2 + C4e^x
Aqui, são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
y^(4) - y''' = x + e^x
Para isso, usamos o método dos coeficientes indeterminados. Vamos considerar as partes não homogêneas: e .

Passo 5

Primeiro, para o termo yp1(x) = Ax + B , assumimos uma solução particular da forma:
Onde e são coeficientes a serem determinados.

Passo 6

Calculando as derivadas de yp1' = A yp1'' = 0 yp1''' = 0 yp1^(4) = 0 :
0 - 0 = x + e^x implies 0 = x + e^x
Substituindo na equação diferencial:
Isso não é possível, então precisamos ajustar nossa suposição.

Passo 7

Como yp1(x) = Ax^2 + Bx já está presente na solução homogênea, multiplicamos por para evitar a repetição. Assim, tentamos:

Passo 8

Calculando as derivadas de yp1' = 2Ax + B yp1'' = 2A yp1''' = 0 yp1^(4) = 0 :
0 - 0 = x + e^x implies 0 = x + e^x
Substituindo na equação diferencial:
Ainda não funciona, então ajustamos novamente.

Passo 9

Agora, tentamos:
yp1(x) = Ax^3 + Bx^2
Calculando as derivadas:
yp1' = 3Ax^2 + 2Bx yp1'' = 6Ax + 2B yp1''' = 6A yp1^(4) = 0
Substituindo na equação:
0 - 6A = x + e^x
Para que isso seja válido para todo -6A = x implies A = -16 e e^x = 0 , igualamos os coeficientes:
Como , isso indica que precisamos considerar outra parte da solução particular.

Passo 10

Para o termo yp2(x) = Cx e^x , como yp2' = C e^x + Cx e^x yp2'' = 2C e^x + Cx e^x yp2''' = 3C e^x + Cx e^x yp2^(4) = 4C e^x + Cx e^x também está na solução homogênea, multiplicamos por (4C e^x + Cx e^x) - (3C e^x + Cx e^x) = x + e^x C e^x = x + e^x para obter:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Isso implica que e o termo já foi tratado anteriormente.

Passo 11

Com isso, nossa solução particular completa é:
yp(x) = yp1(x) + yp2(x) = -16x^3 + x e^x

Passo 12

Portanto, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 + C2x + C3x^2 + C4e^x - 16x^3 + x e^x

Passo 13

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes y(0) = C1 - 0 + 0 + C4 = 0 implies C1 + C4 = 0 y'(0) = C2 + 0 + C4 = 0 implies C2 + C4 = 0 y''(0) = 2C3 + 0 = 0 implies C3 = 0 y'''(0) = 0 + C4 = 0 implies C4 = 0 . Substituindo e as derivadas:
Daí, , , , e .

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = -16x^3 + x e^x

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