Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados via anuladores.
j)

Passo 1

Opa! Vamos resolver essa equação diferencial juntos. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação linear de ordem 4. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados via anuladores, que combina teoria de equações diferenciais e técnicas de resolução específicas. Para isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea, que é:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma . Substituindo na equação, temos:
Como nunca é zero, temos:
As raízes são (com multiplicidade 3) e .

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Para isso, usamos o método dos coeficientes indeterminados. Vamos considerar as partes não homogêneas: e .

Passo 5

Primeiro, para o termo , assumimos uma solução particular da forma:
Onde e são coeficientes a serem determinados.

Passo 6

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:
Isso não é possível, então precisamos ajustar nossa suposição.

Passo 7

Como já está presente na solução homogênea, multiplicamos por para evitar a repetição. Assim, tentamos:

Passo 8

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:
Ainda não funciona, então ajustamos novamente.

Passo 9

Agora, tentamos:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Para que isso seja válido para todo , igualamos os coeficientes:
Como , isso indica que precisamos considerar outra parte da solução particular.

Passo 10

Para o termo , como também está na solução homogênea, multiplicamos por para obter:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Isso implica que e o termo já foi tratado anteriormente.

Passo 11

Com isso, nossa solução particular completa é:

Passo 12

Portanto, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:

Passo 13

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes . Substituindo e as derivadas:
Daí, , , , e .

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados via anuladores.
i)
Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Se converge e , então converge.
Bucontre a transformada de Laplace das seguintes funçöes: ( 4 pontos)
Bucontre a transformada de Laplace das seguintes funçöes: ( 4 pontos)